¿Hay una razón matemática y otra física? Creo que se deduce de la jacobiana de la transformación de Lorentz. Pero, si es así, no veo por qué sería "obvio", a menos que puedas hacer esos cálculos al instante en tu cabeza. ¿Cuál es el significado físico de la invariancia de la medida de Lorentz? ¿Es sólo la conservación del 4-momento?
La propiedad que define a la transformada de Lorentz es $$\Lambda^T\eta\Lambda = \eta$$ donde $\eta_{\mu \nu}$ es la métrica del espacio-tiempo plano $diag(-+++)$ . Como el determinante es lineal y las transformaciones son no degeneradas (como también lo es la propia métrica), tenemos $$\mathrm{det}\Lambda^T \, \mathrm{det}\eta \;\mathrm{det}\Lambda=\mathrm{det}\eta\,,\implies \mathrm{det}\Lambda^T \mathrm{det}\Lambda= (\mathrm{det}\Lambda)^2=1$$ Es decir, muy directamente a partir de las propiedades definitorias de la transformada de Lorentz, el determinante de la misma sólo puede ser $\pm 1$ .
Una forma de esperar intuitivamente esto es entendiendo que la transformada de Lorentz es "ortogonal" o una "rotación del espacio-tiempo" en cierto sentido y por lo tanto es natural que su determinante sea $\pm 1$ de forma similar a la rotación espacial.
Otra forma de verlo es el principio de equivalencia. Al transformar Lorentz en otro marco, deberías obtener un conjunto de coordenadas totalmente iguales y emancipadas. Pero $\mathrm{det} \Lambda < 1$ significaría que de alguna manera estás "perdiendo información por unidad de coordenadas". Entonces podría repetir una serie de $\mathrm{det} \Lambda < 1$ transformaciones para llegar a un conjunto de coordenadas degeneradas, o a la inversa por $\mathrm{det} \Lambda > 1$ un conjunto de coordenadas ampliado. Esto va simplemente en contra del espíritu de la relatividad especial, la transformación no debe preferir el marco de referencia "inicial" o "posterior", todos deben representar una descripción equivalente de la situación física.
La transformación es lineal, por lo que el jacobiano es simplemente $\Lambda$ mismo, por lo que el $\mathrm{d}^4 p$ (¡donde nos referimos a los momentos en coordenadas cartesianas!) es trivialmente invariante de Lorentz.
Gracias. También quería relacionar esta invariante con la conservación del 4-momento directamente de alguna manera. Se relaciona indirectamente porque los vectores de lorentz están definidos de manera que su producto punto es invariante.
Pues bien, la conservación del cuatrimomento es, de hecho, una consecuencia de la invariancia de la teoría con respecto al Poincaré grupo es decir, Lorentz más traslaciones. El cuatromomento es simplemente invariante bajo traslaciones, por lo que normalmente ni siquiera se comenta. Pero la invariancia del momento es no la razón de la conservación, se puede ver la conservación del cuatro-momento aplicando Teorema de Noether a la simetría de traslación del Lagrangiano de una partícula relativista libre.
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Ver la respuesta más abajo, pero es "obvio" porque una de las propiedades básicas de las transformaciones de Lorentz es que son unitarias.
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@levitopher ¿Pero cuál es el significado físico de la medida en sí?
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Bueno, $d^4p$ es el elemento de volumen en el espacio de momento con coordenadas $(p^0,p^1,p^2,p^3)$ . El significado físico de que sea invariante es simplemente que si eliges un conjunto diferente de coordenadas $(p'^0,p'^1,p'^2,p'^3)$ que estuviera relacionado con el primero por medio de aumentos y traslaciones de Lorentz, se obtendría la misma medida.