Desigualdad que implica el módulo de un número complejo

Question

Demostrar que z de \left\vert $$^ {3} + \frac {1} {z ^ {3}} \right\vert \leq1\Rightarrow\left\vert z + \frac {1} {z} \right\vert \leq1.$$ He probado con la desigualdad del triángulo y la desigualdad de triángulo inverso, es decir, $$| a + b | \le | a | + | b | \text {y} || un |-| b || \le|a-b|,\forall, b\in \mathbb{C}.$$

Answer 1

Es un poco forzado ejercicio...la original es con $|...|\le 2\implies |...|\le 2$ (uno puede ver Titu Andreescu, los números Complejos de la a a la Z...)...Para esto, el uso de la identidad $$\left(z+\dfrac{1}{z} \right)^3=z^3+\dfrac{1}{z^3}+3\left(z+\dfrac{1}{z} \right),$$ tenemos $$\left|z+\dfrac{1}{z} \right|^3\le\left|z^3+\dfrac{1}{z^3}\right|+3\left|z+\dfrac{1}{z} \right| \le2+3\left|z+\dfrac{1}{z} \right|.$$ Dejando $0<a=\left|z+\dfrac{1}{z} \right|$, obtenemos $$a^3-3a-1\le 0\Leftrightarrow (x_0)(a-x_1)(x_2)\le0,$$ where $x_0=-1,53...,x_1=-0,34...,x_2=1,87...$ (see Wolfram or using Rolle theorem we get rapidly $x_2$ y así sucesivamente...). Desde $(a-x_0)(a-x_1)>0$ al $a<x_0$ o $a>x_1$, se deduce que $$a-1,87\le 0 \Leftrightarrow\le 1,87.$$ Finalmente nos obteined una mejor estimación, una limitación y "el deseado de la desigualdad". Algo está podrido en el estado de Dinamarca...