Por qué hay que invertir $G_m$ en la construcción de la motivic estable homotopy categoría?

Question

Morel y Voevodsky construir el motivic estable homotopy categoría, una categoría a través de la cual todos los cohomology teorías de factores y de donde son representables, partiendo de una categoría de esquemas, Yoneda de incrustación en simplicial presheaves, dotando a los con $\mathbb{A}^1$-local de la estructura del modelo y, a continuación, pasar a $S^1 \wedge \mathbb{G}_m$-espectros. El último paso se asegura de que rompiendo con $S^1$ o con $\mathbb{G}_m$ inducir functors con una cuasi-inversa en el homotopy categoría.

La inversión de $S^1$ conduce a una estructura triangular en la homotopy de la categoría, que es muy agradable, pero me gustaría una motivación para invertir $\mathbb{G}_m$. Desde $\mathbb{P}^1$ $\mathbb{A}^1$- equivalente a $S^1 \wedge \mathbb{G}_m$ también estaría contenido con una motivación para invertir $\mathbb{P}^1$.

---

Debo admitir que ya conoces algunas de las respuestas que sin duda son razones suficientes para invertir $\mathbb{G}_m$, por ejemplo, (a partir de las diapositivas por Marc Levine, empieza en la página 64):

1. La inversión de $\mathbb{G}_m$ es necesario para producir una secuencia de Gysin

2. La algebraica de K-teoría del espectro aparece naturalmente como un $\mathbb{P}^1$-espectro

Sin embargo, yo soy codicioso, y le gustaría conocer una motivación como la de la inversión de la Lefschetz motivo en la construcción de motivos puros: No se podría decir que para todos prevista la realización functors que si el factor a través de la categoría de motivos puros, el efecto de tensoring con el Lefschetz motivo puede ser deshecho (por ejemplo, es sólo un cambio de Galois representación de salir de la cohomology grupos sin cambios).

O, relacionados con este, como Emerton explicó en su agradable respuesta aquí uno tiene que invertir la Lefschetz motivo con el fin de hacer que los Motivos Puros rígido en el tensor de la categoría. Idealmente, uno quisiera que los nidos de la categoría de los motivos para surgir como se deriva de la categoría de algunos rígido tensor de la categoría - si esto era cierto, sería refleja en el hecho de que $\mathbb{P}^1$ o $\mathbb{G}_m$ son invertible? (en este caso, por supuesto, uno debe asegurarse que iinvertibility cuando la construcción de un candidato para este derivado de la categoría)

Answer 1

Supongo que hay "interno" y "externo" de las motivaciones. Externo, por ejemplo), la mayoría de los ejemplos naturales de functors tenemos desde el estable motivic homotopy categoría a alguna otra categoría invertir G_m (por ejemplo, ninguno de los habituales en las realizaciones, o K-teoría). Interna, por ejemplo), queremos que la suspensión de los espectros de las variedades a ser dualizable bajo el smash producto.

Answer 2

$H^1({\mathbb G}_m)$ es el mismo motivo como $H^2(\mathbb P^1)$, así que creo que la inversión de $\mathbb G_m$ es la misma que la inversión de la Lefschetz motivo. (Topológicamente, fundamental las clases, en última instancia, surgen de la $H^1$ de el círculo, por lo que debemos invertir esta si las clases fundamentales son para ser invertible.) En el puro contexto, no está autorizado a hablar de ${\mathbb G}_m$, y así habla de $H^2(\mathbb P^1)$ lugar; pero yo creo que es el mismo proceso.

Tenga en cuenta que este es compatible con Dustin Clausen y Marty respuestas: en todas las realizaciones (representaciones de Galois, la informática, la períodos, ... ) de los motivos, podemos y debemos invertir la Lefschetz motivo (ya que sólo se convierte en a la inversa cyclotomic carácter, o $2 \pi i$, o ... ). Por cierto, relacionado con David Roberts respuesta, rompiendo con $\mathbb G_m$ es lo que el número de los teóricos de la llamada de un Tate giro, creo, y en el nivel de representaciones de Galois es sólo tensoring con el cyclotomic personaje (aquí me refiero a $H_1(\mathbb G_m)$). Así que pidiendo $\mathbb G_m$ a sea invertible es la misma pregunta que uno puede realizar Tate giros (de entero arbitrario de poder) en el nivel de los motivos.

Ahora si $M$ es un motivo más de un número de campo, con $L$-función de $L(M,s)$, y $M(n)$ es su $n$th Tate giro, entonces el $L$-función de $M(n)$ es simplemente $L(M,s + n)$. Así que la Tate torsión parámetro es el mismo que el parámetro de $s$ en el $L$-función (restringido a valores enteros, por supuesto). Por lo tanto el deseo de tener este parámetro realmente ser un número entero (y no sólo un número natural) también tiene raíces profundas en la conjetura de las relaciones entre los valores de $L$-funciones y la aritmética geometría de los motivos. (Si uno mira a la más simple $L$-función, a saber, la de Riemann zeta función, tiene especial los valores en números enteros positivos y negativos, y sin duda uno quiere considerar todas estas y se refieren todos ellos a motivic consideraciones.)

Answer 3

Aunque yo no soy un experto en motivos, por cualquier medida, creo que la respuesta a su pregunta puede ser determinado considerando los períodos. Como Kontsevich y Zagier recordar, en su papel de "Períodos", publ. IHES, Sección 4.2, se puede formar una matriz cuadrada de los períodos de un par formado por una suave variedad algebraica $X$ $Q$ y un divisor con el normal cruces $D \subset X$, también se define sobre $Q$. Uno simplemente pares de base para la relación singular de homología de $(X,D)$ con coeficientes en $Q$ con una base de la relación de Rham cohomology de $(X,D)$ de grado apropiado. Esto entradas de esta vinculación de la matriz son los llamados "períodos".

Esta matriz -- en general -- es casi como una matriz invertible sobre el anillo de los períodos. Sin embargo, para invertir la matriz, uno debe también se unen a $1/2 \pi i$ a el anillo de los períodos -- esto corresponde precisamente a invertir (período) $G_m$ como usted menciona.

Así, como yo lo entiendo, no se puede lograr la comparación isomorphisms de Betti y de Rham realizaciones de los motivos (o al menos no anote el isomorfismo en ambas direcciones) sin invertir el período de $G_m$.

O, se desprende también de Kontsevich-Zagier que uno no puede definir el triple producto en el anillo de los períodos, sin tener $1/2 \pi i$. La definición de este triple producto es necesario, si se quiere dotar a $Spec$ de el anillo de los períodos con la estructura de un pro-algebraicas torsor para la motivic grupo de Galois.

Answer 4

Como para los nidos de la categoría de perspectiva (y yo no soy un experto) se reduce a tener el cambio functor es invertible, y por lo que entiendo, este es formalmente como la suspensión, es decir, rompiendo con $\mathbb{G}_m$ (la analogía es la más cercana para $\mathbb{G}_m(\mathbb{C}) = \mathbb{C}^\times$ que es homotópica a la circunferencia). Hay un poco de resumen de perspectiva sobre esto en motivic cohomology en el nLab