medida típica

Question

Sólo un poco de una extraña pregunta. Modernas formulaciones de la teoría de la probabilidad resto a la teoría de la medida. Esto plantea un problema para los que no se pueden medir conjuntos. Normalmente, uno simplemente se excluye a estos grupos a partir del análisis y considera que sólo medible subconjuntos de, por ejemplo, los números reales.

Se puede demostrar que los siguientes cuatro supuestos no pueden ser todas verdaderas:

$P_0$: Si un conjunto tiene una medida, es un valor de $0 \leq x \leq \infty$ en el extendido de reales.

$P_1$: Si un conjunto a $P$ tiene una medida de $x$, entonces el conjunto $P' = E(P)$ también tiene una medida de $x$ donde $E$ representa un elemento arbitrario de la plena Euclidiana grupo de simetría de rotaciones y traslaciones.

$P_2$: Medida es una sigma-aditivo función. Si $P$ $P'$ son distintos conjuntos de medidas de $x$$x'$, respectivamente, entonces la medida de $P \cup P'$$x + x'$.

$P_3$: Cada subconjunto de $\mathbb{R}^n$ tiene una medida.

En el análisis estándar, generalmente es $P_3$, lo que es rechazado. Luego uno se hace teoría de la medida, y por lo tanto la teoría de la probabilidad, con el sigma álgebra de subconjuntos medibles. Entonces se define la medida de Lebesgue como la única función de la satisfacción de todos los postulados $P_0-P_2$$\mathbb{R}^n$.

Mi pregunta es esta. Es posible producir una medida coherente con la teoría de la $P_1$, $P_2$, y $P_3$ pero rechazando $P_0$? En particular, si nos vamos a la medida de un conjunto se le da, en general, por un valor no negativo surrealista número, ¿esto permitirá a los otros axiomas para celebrar?

Como un ejemplo, uno podría imaginar una Vitali establecido como tener una medida de $\frac{1}{\omega}$.

Answer 1

Si queremos mantener la propiedad,$P_1$, no creo que el uso de surreals ayuda, ya que yo creo que es razonable suponer que si $x$ es no negativo surrealista número, a continuación, $\sum_{n=1}^{\infty} x$ es valor no positivo o infinito. En este supuesto, se puede ejecutar a través del estándar de prueba para la unidad de intervalo, pero la medida de escenas construidas a ser surrealista:

Supongamos $\mu([0,1])$ es surrealista y $0 < \mu([0,1])< \infty$. Por la norma de construcción, definir una colección de $\mathcal{C}$ de las clases de equivalencia sobre a$[0,1]$, de modo que $x,y \in [0,1]$ están en la misma clase de equivalencia si $x-y$ es racional. Para cada clase de $c \in \mathcal{C}$, usa el axioma de elección para elegir un elemento representativo $x(c) \in c$. Definir $R$ como el conjunto de los racionales en $[0,1]$. Para cada racional $r \in R$, definir $$B_r = \{(x(c) + r) \mod 1 : c \in \mathcal{C}\}$$ Por lo $[0,1]$ es una contables de la unión de conjuntos disjuntos $$[0,1] = \cup_{r \in R} B_r$$ donde $B_r$ son rígidos cambios de uno a otro. Entonces, si asumimos $\mu(B_r)$ existe como un (surrealista) número de $\mu(B_r) = \mu(B_0)$ para todos los racionales $r \in [0,1]$ y el: $$\mu([0,1]) = \sum_{r\in R} \mu(B_r) = \sum_{r \in R} \mu(B_0)$$ El lado derecho de la suma es valor no positivo o infinito, que conduce a la contradicción.

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Nota: he editado el anterior suponer que si $x\geq 0$ $\sum_{n=1}^{\infty} x$ es valor no positivo o infinito. Por ejemplo, es razonable esperar una definición para el countably infinita suma de no negativo surreals cumplir con lo siguiente: Si $x \geq 0$ $\sum_{n=1}^{\infty} x$ no diverge a infinito, entonces $$\sum_{n=1}^{\infty} x = x + \sum_{n=2}^{\infty}x = x + \sum_{n=1}^{\infty} x$$ y por lo $x=0$$\sum_{n=1}^{\infty}x=0$.