¿Hay alguna razón por la que no se encuentren superficies triples en la geometría espacial? ¿Tiene que ver con el hecho de que hay como máximo dos dimensiones/parametrizaciones para una superficie? Si es así, ¿permiten las hipersuperficies 3D en un espacio 4D+ las superficies triples?
Para ser más claro, estoy intentando encontrar una especie de prueba que pueda demostrar este hecho, y si la prueba puede o no generalizarse a superficies y espacios de mayor dimensión.
Una manera de pensar en el hecho de que ninguna superficie en el espacio puede ser triplemente gobernada de la siguiente manera:
En primer lugar, se ve que una superficie $S$ de grado $3$ o superior no se rige en absoluto; una superficie cúbica puede contener como máximo $27$ líneas en total, y las superficies de mayor grado no suelen contener ninguna línea. (Una forma de demostrarlo es mediante un argumento con variedades de incidencia ; ver el boceto en esta entrada difícil .) Por tanto, una superficie reglada no plana tiene que ser una cuádrica (es decir, recortada por un grado $2$ ecuación).
Por otro lado, si $\ell$ es una línea que pasa recostada sobre $S$ que pasa por un punto $s \in S$ entonces $\ell$ se encuentra en el plano tangente a $S$ en $s$ . Desde $S$ es una cuádrica, cuando se interseca con un plano, la intersección es una sección cónica (posiblemente degenerada), por lo que puede contener como máximo dos líneas. Por lo tanto, hay a lo sumo dos líneas en $S$ que pasa por un punto cualquiera $s$ y, por lo tanto, una cuádrica está a lo sumo doblemente gobernada.
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