Encontrar la forma canónica racional

Question

Así que la pregunta que quiero responder es dar un ejemplo de una matriz de 10 por 10 (sobre $ \mathbb {R}$ ) cuyo polinomio mínimo es $(x^{4}-2)(x+2)^{2}$ y no es similar a ninguna matriz con entradas racionales. Este es mi enfoque y las preguntas que tengo. Tenemos que por la descomposición de los módulos, tenemos $$ \mathbb {R}[x]/(a_{1}) \bigoplus ... \bigoplus \mathbb {R}[x](a_{m})$$ donde $a_{1}|a_{2}|...|a_{m}$

Leí en Dummit and Foote que el polinomio mínimo es el factor invariante más grande, así que tenemos que $a_{m}$ es la minipolicía. Así que mi intento es considerar $$ \frac { \mathbb {R}[x]}{(x- \sqrt [4]{2})} \bigoplus \frac { \mathbb {R}[x]}{(x^{2}- \sqrt {2})(x+2)} \bigoplus \frac { \mathbb {R}[x]}{(x^{4}-2)(x+2)^{2}} $$ Las condiciones anteriores se satisfacen ya que claramente $a_{1}|a_{2}|a_{3}$ y $a_{3}$ es el poliomio mínimo. Por lo que leí en Dummit y Foote, la forma racional es la matriz compañera de estos 3 factores.

Así que mi primera pregunta es, para el tercer factor, $ \frac { \mathbb {R}[x]}{(x^{4}-2)(x+2)^{2}}$ mi confusión es: ya que estamos cotizando por un grado 6, ¿sería esta una matriz compañera de 6 por 6 para nuestro polinomio $(x^{4}-2)(x+2)^{2}$ o sería una matriz de acompañamiento 4x4 para $(x^{4}-2)$ seguido por otro bloque de 2x2 que es la matriz compañera de $(x+2)^{2}$ . O desde que tenemos que nuestra matriz se ha acabado $ \mathbb {R}$ nuestros factores polinómicos mínimos como $$(x^{4}-2)(x+2)^{2}=(x- \sqrt [4]{2})(x+ \sqrt [4]{2})(x^{2}+2)(x+2)^{2}$$ así que en realidad tenemos matrices compañeras de 1x1, 1x1, 2x2 y 2x2.

En cuanto a mi segunda pregunta, a menos que haya una forma más rápida, si hubiera una matriz racional,B, que fuera similar a mi forma racional, llámala A, entonces $$A=PBP^{-1}$$ Pero entonces $$det(A)=det(B)$$ así que sólo necesito mostrar que mi matriz (no he calculado este largo determinante de 10 en 10 ya que no estoy seguro de cuál es mi matriz a partir de mi primera pregunta), tiene un determinante que no está en $ \mathbb {Q}$ ¿verdad? Ya que el determinante de $B$ está en $ \mathbb {Q}$ mi esperanza es que al incluir esas 4 raíces de 2, obtengo $det(A) \not \in \mathbb {Q}$ .

Answer 1

Dejemos que $t=\sqrt[4]2$ sea el número complejo real positivo, que es raíz del polinomio $X^4-2$ .entonces $-t$ es la otra raíz real. Consideremos ahora una matriz $T$ con las siguientes entradas diagonales (en bloque): $$ \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \ , \ \begin{bmatrix} 0 & -t \\ t & 0 \end{bmatrix} \ , \ t\ ,\ -t\ ,\ \dots $$ y los puntos sustituyen algunas repeticiones del bloque ya enumerado, o son el valor racional $-2$ para que

• la matriz final es de tamaño $10\times 10$
• y su determinante no está en $\Bbb Q$ .

El polinomio mínimo (en la variable $X$ ) de dicha matriz tiene los factores $(X-(-2))^2$ , $X^2+t^2$ , $X^2-t^2$ por lo que es su producto $(X+2)^2(X^4-t^4)=(X+2)^2(X^4-2)$ .

Los factores invariantes de la acción de $\Bbb R[X]$ en $\Bbb R^{10}$ , donde $X$ actúa mediante la multiplicación por la izquierda con $T$ dependen ahora de las repeticiones que consideremos en uno u otro ejemplo.

El intento publicado funciona, corresponde a la lista de bloques diagonales $$ \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \ , \ \begin{bmatrix} 0 & -t \\ t & 0 \end{bmatrix} \ , \ t\ ,\ -t\ ;\ t\ ,\ -t\ ,\ -2\ ;\ t\ . $$ Y el determinante se calcula fácilmente como el producto de todos los determinantes de los bloques anteriores, y no es racional.

Nota:

Sage da para lo anterior $6\times 6$ la siguiente forma racional, que es la matriz compañera del polinomio mínimo $(x+2)^2(x^4-2)$ :

sage: A1 = matrix( QQ, 2, 2, [-2,1,0,-2] )
sage: A2 = matrix( QQ, 4, 4, [0,1,0,0, 0,0,1,0, 0,0,0,1, 2,0,0,0] )
sage: A = block_diagonal_matrix( A1, A2 )
sage: A
[-2  1| 0  0  0  0]
[ 0 -2| 0  0  0  0]
[-----+-----------]
[ 0  0| 0  1  0  0]
[ 0  0| 0  0  1  0]
[ 0  0| 0  0  0  1]
[ 0  0| 2  0  0  0]
sage: A.minpoly()
x^6 + 4*x^5 + 4*x^4 - 2*x^2 - 8*x - 8
sage: A.minpoly().factor()
(x + 2)^2 * (x^4 - 2)
sage: A.rational_form()
[ 0  0  0  0  0  8]
[ 1  0  0  0  0  8]
[ 0  1  0  0  0  2]
[ 0  0  1  0  0  0]
[ 0  0  0  1  0 -4]
[ 0  0  0  0  1 -4]