Una simple desigualdad derivados de la "negatividad" de espacios euclidianos

Question

Como Euclidiana espacios son Hibert espacios, son de "tipo negativo". Por lo tanto, para cualquier $n\in\mathbb Z^+$, dados dos conjuntos de $n$ $\{x_i\}_{i=1}^n\subset\mathbb R^m$ $\{y_j\}_{j=1}^n\subset\mathbb R^m$ ( $m\in\mathbb Z^+$ ), la siguiente desigualdad se cumple:

$$2\sum_{i,j=1}^n\Vert x_i-y_j \Vert\geq\sum_{i,j=1}^n\left(\Vert x_i-x_j \Vert+\Vert y_i-y_j \Vert\right)$$

He estado haciendo varios intentos fallidos para:

1. Encontrar un elegante primaria de la prueba de la desigualdad cuando se $m=1$ $\Vert\cdot\Vert$ es el valor absoluto.

Y yo quería ser "elegante" para que yo pudiera ampliar a:

2. Demostrar la desigualdad al $\Vert\cdot\Vert$ es la 2-norma, para $m>1$.

(Que yo no he sido capaz de hacer por cualquier otro medio, ya sea)

Así que mi pregunta es: ¿Cómo puedo demostrar que la desigualdad sin el uso de la "negatividad" de $\mathbb R^m$?

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Con esto quiero decir que quiero un directo de la prueba y no simplemente diciendo "$\mathbb R^m$ admite una integración en un espacio de Hilbert (ya que es uno) y la prueba de que se puede concluir mediante la aplicación de I. J. de Schoenberg 1938 teorema".

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En caso de que alguien tiene curiosidad acerca de lo que me refiero, de tipo negativo, ver Lev B. Klebanov s $\mathfrak N$-Distancias y sus Aplicaciones. Pero básicamente la idea es que la distancia actúa casi como un negativo semidefinite kernel. Esto es especialmente importante en la teoría de la probabilidad, porque es lo que hace que $\mathcal E$-estadísticas de trabajo.

Answer 1

Como referencia: la métrica Euclidiana ser de tipo negativo, significa que para cualquier $z_1,\dots, z_{k} \in\mathbb{R}^m$ y real de escalares $b_1,\dots, b_k$ tal que $\sum b_i =0$ tenemos $$\sum_{i, j} b_i b_j \|z_i-z_j\|\le 0 \tag1$$ La desigualdad a la que quieres demostrar que es equivalente a (1), por lo que no se puede tener cualquier sustancialmente más simple prueba de un (1) sí mismo. En efecto, en (1) es suficiente con considerar racional $b_i$, por la densidad de los racionales. Por lo tanto, es suficiente con considerar entero $b_i$, multiplicando todo por el denominador común de $b_i$s. Por lo tanto es suficiente con considerar el $b_i\in \{\pm 1\}$, repitiendo cada punto de $|b_i|$ veces. A continuación, podemos cambiar el nombre de $z_i$ "x" si $b_i=1$, y como la "y" de lo contrario, llegando a la desigualdad usted declaró.

Una prueba de (1) por $m=1$: orden de los números como $z_1\le \dots\le z_k$ y se centran en la contribución de algunos brecha $[z_i, z_{i+1}]$ a la suma en (1). Contribuye $(z_{i+1}-z_i)$ veces $$ \sum_{j\le i, \ \ell > i} b_j b_{\ell} = \sum_{j\le i} b_j \sum_{\ell > i} b_{\ell} = -\left(\sum_{j\le i} b_j\right)^2 \le 0 $$ Desde el lado izquierdo de (1) es de tal valor no positivo de las cantidades, es valor no positivo.

La extensión a $\mathbb{R}^m$ se basa en el hecho de que la longitud de un segmento de la línea de $S$ puede ser calculado, hasta algunas constantes $C_m$, mediante la proyección de $S$ sobre una línea arbitraria $L$ a través del origen y la integración de la longitud de dichas proyecciones sobre todas las $L$. Así, el proyecto de todos los puntos en $L$ y aplicar la desigualdad de la $m=1$ a las proyecciones; luego integrar sobre todas las $L$.