Permita que$K$ sea un campo y un polinomio$f\in K[X]$. Permitir que$E$ y$F$ sean dos campos de división de$f$ (aunque isomorfos), para mostrar son dos grupos de Galois Gal$(E/K)$ y Gal$(F/K)$ isomorfos.
Una idea podría ser que los grupos de Galois también permuten las raíces. Podemos probar que es posible construir el isomorfismo entre dos campos de división que coincidan con algunas raíces en el par. Use esto para inducir el isomorfismo entre dos grupos de Galois.
¿Hay alguna prueba rápida?
Supongamos que$\phi : E \to F$ es un isomorfismo de campo entre los dos campos de división. Entonces $$ \begin{array}{l|rcl} \Phi : & \text{Gal}(E/K) &\longrightarrow & \text{Gal}(F/K) \\ & \sigma & \longmapsto & \phi \circ \sigma \circ \phi^{-1} \end {array} $$
es un isomorfismo grupal entre los grupos de Galois.
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