Es el toro de la unión de dos conectados, simplemente conectado a abrir?

Question

Es el toro de la unión de dos conectados, simplemente conectado a abrir? Una rutina de cálculo con el de Mayer-Vietoris secuencia muestra que si es así, entonces su intersección debe tener exactamente tres componentes.

También, exactamente uno de los componentes debe tener $H_1=\mathbb{Z}$; los otros dos deben ser homologically trivial. (Eso suponiendo que $H_2(X)=0$ para cualquier subconjunto abierto $X$ de el toro, lo que parece obvio.)

Answer 1

Edit: La respuesta es todavía negativo. Lo que tienes que usar es el Lusternik-Shnirelmann categoría $cat(X)$:

Definición. $cat(X)$ para un espacio topológico $X$ es el mínimo número de contráctiles abrir sets necesarios para cubrir $X$.

Se sabe que $cat(T^n)=n+1$, ver aquí. Por lo tanto, usted no puede cubrir 2-toro con dos simplemente conectado a abrir sets (ya que estos conjuntos son contráctiles).