Es el toro de la unión de dos conectados, simplemente conectado a abrir? Una rutina de cálculo con el de Mayer-Vietoris secuencia muestra que si es así, entonces su intersección debe tener exactamente tres componentes.
También, exactamente uno de los componentes debe tener $H_1=\mathbb{Z}$; los otros dos deben ser homologically trivial. (Eso suponiendo que $H_2(X)=0$ para cualquier subconjunto abierto $X$ de el toro, lo que parece obvio.)