En la versión original de la pregunta, se describe un proceso de fijación de los elementos de un grupo de elementos de la otra. Esta no es la imagen de la derecha, y creo que el ejemplo más sencillo para empezar es el producto directo.
Si usted está familiarizado con el producto Cartesiano de conjuntos, el producto directo de los grupos es sólo "el producto Cartesiano de los grupos" (y esto puede ser hecho precisa a través de la categoría de teoría si te interesa). Cada uno de los grupos $\mathcal{G}=(G,*_\mathcal{G})$$\mathcal{H}=(H,*_\mathcal{H})$, el producto directo de los $\mathcal{G}\times \mathcal{H}$ es el conjunto cuyos elementos son pares ordenados $(g, h)\in G\times H$ - es decir, los elementos del producto Cartesiano de los conjuntos subyacentes de $G$ $H$ - y donde el grupo de operación está dada coordinatewise:$$(a,b)*_{\mathcal{G}\times\mathcal{H}}(c,d)=(a*_\mathcal{G}c,b*_\mathcal{H}d).$$
Por ejemplo, si tomamos $G$ $H$ a cada uno el conjunto de los números reales bajo la suma, su producto directo es exactamente lo que podemos esperar: sólo es $\mathbb{R}^2$ con "adición de vectores" $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ (estoy asumiendo que usted ha visto los vectores antes, tal vez en una clase de física, aquí; si no, olvidar la frase entre comillas).
Tenga en cuenta que cada par de elementos es permitido en el producto directo, así que no hay "coincidencia" de elementos que se produce en el comienzo de la construcción. (Por cierto, podemos tomar el producto directo de más de dos grupos - incluso de infinidad de grupos a la vez! - y hay una relativa cosa, la suma directa, que es diferente en el caso infinito - pero eso es una cuestión de lado.)
Ahora, ¿qué acerca de otras maneras de combinar los grupos?
(Para simplificar, a partir de ahora voy a confundir a un grupo con su conjunto subyacente.)
El semidirect producto, como el nombre sugiere, es una generalización del contacto directo con el producto. Elementos de la semidirect producto son todavía pares de elementos de los grupos adecuados, pero la forma en que interactúan es más complicado: ahora no solo tenemos a los dos grupos de $G$$H$, pero nosotros también tenemos (como su amigo se mencionó) un grupo fijo homomorphism $\phi$ $H$ $Aut(G)$- o, en los más intuitiva del lenguaje, una acción $\phi$ $H$ $G$ . Estas tres piezas de datos se combinan para formar el semidirect producto $G\rtimes_\phi H$:
Elementos de $G\rtimes_\alpha H$ son parejas ordenadas $(a,b)\in G\times H$. Es decir, el conjunto subyacente de $G\rtimes_\phi H$ es la misma que la del contacto directo con el producto; no vamos a cambiar lo que un elemento es, cómo se relacionan los elementos de cada uno de los otros.
La multiplicación es dado "coordinatewise pero con $\phi$ sobrante": vamos a $$(a,b)*(c,d)=(a\phi_b(c), bd).$$ (Here as is often the convention I'm writing "$\phi_b(c)$" instead of "$\phi(b)(c)$;" es una forma mucho más clara de esta manera, al menos en mi opinión.)
- Tenga en cuenta que en el caso de la "trivial acción" donde $\phi: H\rightarrow Aut(G)$ es la trivial homomorphism (equivalentemente, $\phi_y(x)=x$ todos los $y\in H, x\in G$), tenemos $a\phi_b(c)=ac$ y acabamos de recibir el producto directo de vuelta! Esto realmente es una generalización.
Así que usted puede ver que una imagen similar está ocurriendo: no estamos elementos coincidentes de los grupos de hasta el uno con el otro, sino que cada posible par de elementos juega un papel en el grupo que construir. La directa y semidirect productos de cada uno empiece por tomar el producto Cartesiano de los conjuntos subyacentes de los grupos en cuestión y, a continuación, ir de allí, el producto directo de poner adelante tan poco esfuerzo como sea posible y el semidrect producto haciendo algo que al principio probablemente parece una especie de extraño (pero es muy útil).
Hay otras formas de combinar los grupos de producto, corona de producto, ... - que son muy diferentes, pero lo dejo aquí por ahora, creo que la digestión de la (semi)producto directo es un buen punto de partida.
