La lectura de un documento que he encontrado la siguiente declaración: dados dos espectros $A, B$ ya que la multiplicación por $p$ induce el mismo endomorfismo en $[A,B]$ tenemos $[A \wedge M, B]\cong [A, \Sigma^{-1}M \wedge B]$ donde $M$ es el mod $p$ Moore espectro.
Creo que la idea es simple: desde el smash con $M$ es sólo tomar el cono de la multiplicación por $p$ hemos exacta de los triángulos en la estable homotopy categoría $A \xrightarrow{p} A \rightarrow A \wedge M$ $\Sigma^{-1}M \wedge B \rightarrow B \xrightarrow{p} B$ . Por tanto, aplicar, respectivamente, los functors $[-, B]$ $[A,-]$ tenemos dos largas secuencias exactas en el formulario
$[A,B]_{*+1} \xrightarrow{p} [A,B]_{*+1} \rightarrow Z \rightarrow [A,B]_{*} \xrightarrow{p}[A,B]_{*}$
donde $Z$ $[A \wedge M, B]_* $ o $[A, \Sigma^{-1}M \wedge B]_*$, por lo que debemos deducir que estos dos grupos son isomorfos a través de la 5 lexema.
El punto de mi pregunta es que no hay canónica mapa entre ellos, así que no sé si el 5 lexema puede ser aplicada. Tenemos dos mapas de $[A \wedge M, \Sigma^{-1} M \wedge B] \rightarrow [A \wedge M, B]$$[A \wedge M, B] \rightarrow [A,B]$, pero no entiendo si puedo obtener un mapa hacer que el diagrama de largo exacto de secuencias de desplazamiento.
La otra opción que yo veo es que podemos producir un mapa entre los dos grupos a través de diagrama de chase con el hecho de que el otro morfismos son invertible: he intentado hacer esto, pero no puedo concluir el resultado. Ya que este tipo de prueba es inmediata supongo que esta afirmación es falsa: sería como demostrando que en la 5 lema de la vertical del mapa en el medio no es necesario.
Gracias de antemano por cualquier ayuda.
