Existencia de elementos de orden$2$ en$S_n$ cuyo Producto tiene orden$n$

Question

Demuestre que todo para$n>2$,$S_n$ contiene dos elementos$x,y$, ambos de orden$2$, de modo que su producto es de orden$n$.

Puedo encontrar esos elementos para$n$ small, pero no sé cómo crear un algoritmo para producir estos$x,y$ para$n$%. Cualquier sugerencia es apreciada.

Answer 1

Considere el grupo diedro como un subgrupo del grupo simétrico con$s$ de la reflexión y$r$ de los generadores de rotación. Entonces los elementos$sr$ y$sr^2$ tienen orden$2$ y su producto es$r$ que tiene orden$n$. Tenga en cuenta que hemos usado tácitamente ese$n > 2$.

Answer 2

Un patrón que funciona para $n=2k+1$ es $$(2\,3)(4\,5)\ldots(2k\,2k+1)\circ(1\,2)(3\,4)(5\,6)\cdots(2k-1\,2k) = (1\, 3\ 5\, 7\, \ldots\, 1\ 2 k, 2 k +1\, 2k\, 2 k-2\, \ldots\, 6\, 4\, 2) $$ y un similar pattren $n=2k$.

Answer 3

Dos reflexiones (generalmente) hacen una rotación.

Answer 4

Para$n= 3$, observamos que$$ (1\ 3 ) (2\ 3) = (1\ 2\ 3), $ $ y$$ \big| (1 \ 2) \big| = 2 = \big| (2 \ 3) \big|, $ $ mientras que$$ \big| (1 \ 2 \ 3) \big| = 3. $ $

Para$n=4$, encontramos que$$ \big[ (1 \ 2) ( 3\ 4) \big] \big[ ( 1 \ 3) \big] = ( 1 \ 2 \ 3 \ 4 ), $ $ y$$ \big| (1 \ 2) ( 3\ 4) \big| = 2 = \big| (1 \ 3) \big|, $ $ mientras que$$ \big| (1 \ 2\ 3 \ 4) \big| = 4. $ $

Para$n= 5$, encontramos que$$ \big[ (1 \ 2) ( 3 \ 5) \big] \big[ (1 \ 3) ( 4\ 5) \big] = (1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5), $ $ y$$ \big| (1 \ 2) ( 3 \ 5) \big| = 2 = \big| (1 \ 3) ( 4\ 5) \big|, $ $ mientras que$$ \big| (1 \ 2\ 3\ 4\ 5) \big| = 5. $ $

Espero que esto ayude.