Cada número irracional se puede aproximar mediante fracciones continuas.
El resultado de cada una de estas aproximaciones para el número $$\dfrac\pi2=[1; 1, 1, 3, 31, 1, 145, 1, 4, 2, 8, 1, 6, 1, 2, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 41, 1, 2, 3, 7, 1, 1, 1, 27, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 49, 2, 1, 4, 3, 6, 2, 1, 3, 3, 17, 1, 3, 2, 1, ...]$$ puede representarse en forma de $$\dfrac{P_{2i-1}}{Q_{2i-1}}<\dfrac\pi2<\dfrac{P_{2i}}{Q_{2i}},$$ donde $$\dfrac{P_k}{Q_k}=\left\{\dfrac32,\dfrac{11}{7},\dfrac{344}{219},\dfrac{355}{226},\dfrac{51819}{32989},\dfrac{52174}{33215},\dfrac{260515}{165849},\dfrac{573204}{364913},\dfrac{4846147}{3085153},\dfrac{5419351}{3450066},\dfrac{37362253}{23785549},\dfrac{42781604}{27235615},\dfrac{122925461}{78256779},\dfrac{411557987}{262005952},\dfrac{534483448}{340262731},\dfrac{2549491779}{1623056876},\dfrac{3083975227}{1963319607},\dfrac{17969367914}{11439654911},\dfrac{21053343141}{13402974518},\dfrac{881156436695}{560961610149},\dfrac{902209779836}{574364584667},\dfrac{2685575996367}{1709690779483},\dfrac{8958937768937}{5703436923116},\dfrac{65398140378926}{41633749241295},\dfrac{74357078147863}{47337186164411},\dfrac{139755218526789}{88970935405706}\dots\right\}$$ donde $$\left(\dfrac{P_{2i}}{Q_{2i}}-\dfrac{P_{2i-1}}{Q_{2i-1}}\right) = \dfrac1{Q_{2i-1}Q_{2i}},\quad 0< Q_{2i-1} < Q_{2i}.$$ Entonces $$\dfrac{P_{2i}}{Q_{2i}} - \dfrac1{Q_{2i-1}Q_{2i}}<\dfrac\pi2<\dfrac{P_{2i}}{Q_{2i}},$$ $$P_{2i} - \dfrac1{Q_{2i-1}}<\dfrac\pi2Q_{2i}<P_{2i},$$ $$\dfrac\pi2Q_{2i}<P_{2i}<\dfrac\pi2Q_{2i}+ \dfrac1{Q_{2i-1}},$$ $$P_{2i}=\dfrac\pi2Q_{2i}+ \dfrac\theta{Q_{2i-1}},$$ donde $$\theta\in(0,1)\tag1.$$
Si $Q_{2i}$ es impar, entonces $$\tan P_{2i}=\tan\left({\dfrac\pi2Q_{2i}+ \dfrac\theta{Q_{2i-1}}}\right) = -\cot{\dfrac\theta{Q_{2i-1}}} = -\dfrac1{\tan{\dfrac\theta{Q_{2i-1}}}}.$$ Teniendo en cuenta la desigualdad $$\tan t \le \dfrac4\pi t,\quad t\in[0,1],\tag2$$ fácil de conseguir $$\tan P_{2i} < -\dfrac\pi{4\theta} Q_{2i-1}.\tag3$$ Por lo tanto, si las condiciones
- $Q_{2i}$ es impar,
- $\theta < \dfrac{2Q_{2i-1}}{P_{2i}},$
se satisfacen para la secuencia infinita de índices $i,$ entonces para esta secuencia $$P_{2i} + \tan P_{2i} < -\left(\dfrac\pi2-1\right)P_{2i},$$ y, teniendo en cuenta el aumento monotónico de la secuencia $P_{2i},$ la secuencia de emisión no puede ser acotada por debajo.
Por otro lado (sin prueba exacta), la subsecuencia con el impar $Q_{2i}$ en los ratios \begin{align} &\dfrac{P_{2i}}{Q_{2i}}=\Bigg\{\mathbf{\dfrac{11}{7}},\dfrac{355}{226},\mathbf{\dfrac{52174}{33215}},\mathbf{\dfrac{573204}{364913}},\dfrac{5419351}{3450066},\\ &\mathbf{\dfrac{42781604}{27235615}},\dfrac{411557987}{262005952},\dfrac{2549491779}{1623056876},\mathbf{\dfrac{17969367914}{11439654911}},\mathbf{\dfrac{881156436695}{560961610149}},\\ &\mathbf{\dfrac{2685575996367}{1709690779483}},\mathbf{\dfrac{65398140378926}{41633749241295}},\dfrac{139755218526789}{88970935405706}\dots\Bigg\} \end{align} debe ser ilimitado y, teniendo en cuenta $(1),$ la segunda condición, que utiliza la secuencia \begin{align} &\dfrac{Q_{2i-1}}{P_2i}=\Bigg\{\mathbf{\dfrac{219}{11}},\dfrac{32989}{355}, \mathbf{\dfrac{165849}{52174}}, \mathbf{\dfrac{3085153}{573204}}, \dfrac{23785549}{5419351},\\ &\mathbf{\dfrac{78256779}{42781604}}, \dfrac{340262731}{411557987},\dfrac{1963319607}{2549491779}, \mathbf{\dfrac{13402974518}{17969367914}}, \mathbf{\dfrac{574364584667}{881156436695}},\\ &\mathbf{\dfrac{5703436923116}{2685575996367}}, \mathbf{\dfrac{47337186164411}{65398140378926}}, \dots\Bigg\} \end{align} realmente no funciona.
Así que no hay razones para que las condiciones anteriores puedan hacer que la secuencia requerida sea limitada.
Esto significa que la secuencia $n+\tan(n)$ no está acotado por debajo de .
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Esto podría ayudar math.stackexchange.com/questions/159438/
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@leonbloy Puede ser algo útil, pero la divergencia de $\frac{\tan{n}}{n}$ no está del todo relacionado con $n+\tan n$ Creo que
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Bueno, si puedes demostrar que, digamos, hay infinitos valores de $n$ tal que $\tan(n)< -2n$ Entonces, ya está hecho. Sin embargo, no estoy seguro de que las referencias que hay puedan demostrarlo.
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Pregunta interesante (+1). Los numeradores de los convergentes de la fracción continua de $\frac{\pi}{2}$ son aparentemente buenos candidatos para dar resultados negativos con gran magnitud absoluta. Sin embargo, no estoy seguro de que esto sea suficiente para demostrar la conjetura.
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Un ejemplo espectacular que indica que la secuencia, de hecho, parece no tener límites : $$n=29973341381571568904696454415930130885472094353729$$ implica $$n+\tan(n)=-96430241781765207615806421837857889761609622768827.94009566\cdots $$
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$$3825751367438572721288064941140072998699766$$ $$982495809143557702771661080412376917282460965019427780239$$ da un número negativo con parte entera que tiene $101$ dígitos.
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[Secuencias tangentes, récords mundiales y el sentido de la vida: Algunas aplicaciones de la teoría de números al cálculo][1], página 372: Si $\frac{p_k}{q_k}$ es un convergente para $\frac{\pi}{2}=[a1;a2,a3...]$ con $q_k$ impar entonces $\frac{|\tan p_k|}{p_k}$ está dentro de $\frac23$ de $\frac{2(a_{k+1}+1)}{\pi}$ . Esto se traduce aproximadamente en $\frac{|\tan p_k|}{p_k}>2$ para $a_{k+1}\ge 4$ (que es bastante bajo) y $q_k$ impar (bastante común). El truco es que no hay una manera fácil de saber si $\tan p_k$ es negativo. [1]: jstor.org/stable/
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@Oldboy Con todo eso, adicionalmente requieren $k$ está en paz. Entonces la aproximación racional $p_k/q_k$ es ligeramente mayor que $\pi/2$ o $-\pi/2$ . Esto hace que $\tan p_k$ es negativo. Por lo tanto, tenemos que buscar $q_{2k}$ impar y $a_{2k+1}\geq 4$ que hace que $\tan p_{2k} <-2p_{2k}$ .
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@i707107 Buen detalle, se me olvidó señalar que los convergentes consecutivos están en diferentes lados de $\pi/2$ . Así que, en esencia, este problema es equivalente al siguiente: hay infinitos convergentes de $\pi/2$ tal que $q_{2k}$ es impar y $a_{2k+1}\ge 4$ .
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Esta es la lista de números, cada uno de los cuales empuja $\tan n-n$ más profundo en el agujero: 11, 52174, 573204, 396325638628212603442, 5947531272548328355975, 335683259730329753556884324, 63008132762960627316194351129, 1330493134030199016512466214474646, 2511033520371273238505726363636498516, 30364169484902872850253606297724205522, 29973341381571568904696454415930130885472094353729. ..
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Registros[límite_] : = Module[ {aList, convergentsList, pList, qList, k, res}, aList = ContinuedFraction[Pi/2, limit]; convergentsList = Convergents[Pi/2, limit]; pList = Numerador /@ convergentsList; qList = Denominador /@ convergentsList; res = {}; For[k = 2, k <= limit - 2, k += 2, If[Mod[qList[[k]], 2] == 1 && aList[[k + 1]] >= 4, AppendTo[res, pList[[k]]]]; ]; res ];
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El script anterior genera nuevos "porta registros" para $\tan n - n$ . El argumento $limit$ define el número de convergentes comprobados según los criterios pulidos por @i707107. Puedes crear una secuencia monstruosa bastante rápido.
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@Oldboy ¡Buen código! Creo que querías decir $\frac{\tan n}n$ más profundo en el agujero, ¿verdad? Además, como $6/\pi - 2/3$ se trata de $1.2$ basta con tener $a_{2k+1}\geq 2$ .
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@i707107 Creo que todos hemos olvidado lo que intentamos demostrar: que $\tan n + n$ es ilimitado desde abajo. Esto es cierto si $\tan n\lt-2n$ o $\tan n/n\lt -2$ para una infinidad de valores diferentes de $n$ . Mi script encuentra tales valores y así empuja el valor de $\tan n + n$ más en lo negativo.
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@Oldboy Cierto. Yo mencioné $a_{2k+1}\geq 2$ porque estos casos son fáciles de encontrar.
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Si se acepta la conjetura de que $\pi$ es un número normal (o más débil: Que toda posible secuencia finita de números naturales aparece en $\pi$ ), entonces hay una prueba fácil