¿Es la secuencia $n+\tan(n), n \in\mathbb{N}$ ¿acotado por debajo?
Intuitivamente creo que no está acotado por debajo, pero no tengo ni idea de cómo demostrarlo. Es como un problema de aproximación diofántica, pero la mayoría de los teoremas parecen ser demasiado débiles.
Cada número irracional se puede aproximar mediante fracciones continuas.
El resultado de cada una de estas aproximaciones para el número $$\dfrac\pi2=[1; 1, 1, 3, 31, 1, 145, 1, 4, 2, 8, 1, 6, 1, 2, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 41, 1, 2, 3, 7, 1, 1, 1, 27, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 49, 2, 1, 4, 3, 6, 2, 1, 3, 3, 17, 1, 3, 2, 1, ...]$$ puede representarse en forma de $$\dfrac{P_{2i-1}}{Q_{2i-1}}<\dfrac\pi2<\dfrac{P_{2i}}{Q_{2i}},$$ donde $$\dfrac{P_k}{Q_k}=\left\{\dfrac32,\dfrac{11}{7},\dfrac{344}{219},\dfrac{355}{226},\dfrac{51819}{32989},\dfrac{52174}{33215},\dfrac{260515}{165849},\dfrac{573204}{364913},\dfrac{4846147}{3085153},\dfrac{5419351}{3450066},\dfrac{37362253}{23785549},\dfrac{42781604}{27235615},\dfrac{122925461}{78256779},\dfrac{411557987}{262005952},\dfrac{534483448}{340262731},\dfrac{2549491779}{1623056876},\dfrac{3083975227}{1963319607},\dfrac{17969367914}{11439654911},\dfrac{21053343141}{13402974518},\dfrac{881156436695}{560961610149},\dfrac{902209779836}{574364584667},\dfrac{2685575996367}{1709690779483},\dfrac{8958937768937}{5703436923116},\dfrac{65398140378926}{41633749241295},\dfrac{74357078147863}{47337186164411},\dfrac{139755218526789}{88970935405706}\dots\right\}$$ donde $$\left(\dfrac{P_{2i}}{Q_{2i}}-\dfrac{P_{2i-1}}{Q_{2i-1}}\right) = \dfrac1{Q_{2i-1}Q_{2i}},\quad 0< Q_{2i-1} < Q_{2i}.$$ Entonces $$\dfrac{P_{2i}}{Q_{2i}} - \dfrac1{Q_{2i-1}Q_{2i}}<\dfrac\pi2<\dfrac{P_{2i}}{Q_{2i}},$$ $$P_{2i} - \dfrac1{Q_{2i-1}}<\dfrac\pi2Q_{2i}<P_{2i},$$ $$\dfrac\pi2Q_{2i}<P_{2i}<\dfrac\pi2Q_{2i}+ \dfrac1{Q_{2i-1}},$$ $$P_{2i}=\dfrac\pi2Q_{2i}+ \dfrac\theta{Q_{2i-1}},$$ donde $$\theta\in(0,1)\tag1.$$
Si $Q_{2i}$ es impar, entonces $$\tan P_{2i}=\tan\left({\dfrac\pi2Q_{2i}+ \dfrac\theta{Q_{2i-1}}}\right) = -\cot{\dfrac\theta{Q_{2i-1}}} = -\dfrac1{\tan{\dfrac\theta{Q_{2i-1}}}}.$$ Teniendo en cuenta la desigualdad $$\tan t \le \dfrac4\pi t,\quad t\in[0,1],\tag2$$ fácil de conseguir $$\tan P_{2i} < -\dfrac\pi{4\theta} Q_{2i-1}.\tag3$$ Por lo tanto, si las condiciones
se satisfacen para la secuencia infinita de índices $i,$ entonces para esta secuencia $$P_{2i} + \tan P_{2i} < -\left(\dfrac\pi2-1\right)P_{2i},$$ y, teniendo en cuenta el aumento monotónico de la secuencia $P_{2i},$ la secuencia de emisión no puede ser acotada por debajo.
Por otro lado (sin prueba exacta), la subsecuencia con el impar $Q_{2i}$ en los ratios \begin{align} &\dfrac{P_{2i}}{Q_{2i}}=\Bigg\{\mathbf{\dfrac{11}{7}},\dfrac{355}{226},\mathbf{\dfrac{52174}{33215}},\mathbf{\dfrac{573204}{364913}},\dfrac{5419351}{3450066},\\ &\mathbf{\dfrac{42781604}{27235615}},\dfrac{411557987}{262005952},\dfrac{2549491779}{1623056876},\mathbf{\dfrac{17969367914}{11439654911}},\mathbf{\dfrac{881156436695}{560961610149}},\\ &\mathbf{\dfrac{2685575996367}{1709690779483}},\mathbf{\dfrac{65398140378926}{41633749241295}},\dfrac{139755218526789}{88970935405706}\dots\Bigg\} \end{align} debe ser ilimitado y, teniendo en cuenta $(1),$ la segunda condición, que utiliza la secuencia \begin{align} &\dfrac{Q_{2i-1}}{P_2i}=\Bigg\{\mathbf{\dfrac{219}{11}},\dfrac{32989}{355}, \mathbf{\dfrac{165849}{52174}}, \mathbf{\dfrac{3085153}{573204}}, \dfrac{23785549}{5419351},\\ &\mathbf{\dfrac{78256779}{42781604}}, \dfrac{340262731}{411557987},\dfrac{1963319607}{2549491779}, \mathbf{\dfrac{13402974518}{17969367914}}, \mathbf{\dfrac{574364584667}{881156436695}},\\ &\mathbf{\dfrac{5703436923116}{2685575996367}}, \mathbf{\dfrac{47337186164411}{65398140378926}}, \dots\Bigg\} \end{align} realmente no funciona.
Así que no hay razones para que las condiciones anteriores puedan hacer que la secuencia requerida sea limitada.
Esto significa que la secuencia $n+\tan(n)$ no está acotado por debajo de .
Mi respuesta se basa en la conjetura (que es ligeramente diferente de la definición de medida de irracionalidad) de que, cuando $x=\frac{\pi}2$ para la desigualdad( $p,q\in\mathbb{N}$ ) $$0<\frac{p}q-x<\frac1{q^{\mu(x)-\epsilon}}$$ por cada $\epsilon>0$ existen infinitas soluciones $(p,q)$ con $q$ impar.
(Sinceramente, creo que esta conjetura es cierta).
Definamos en primer lugar una función $D(p)$ que mide la distancia entre $p$ y el polo más cercano de $\tan$ a la izquierda de $p$ .
es decir, si:
Para $p,q\in\mathbb{N}$ se puede demostrar que $$D(p)=p-(q\pi+\frac{\pi}2)$$ donde $\frac{p}{\pi}-\frac32<q<\frac{p}{\pi}-\frac12$ .
Reescribiendo un poco, $$D(p)=p-(q\pi+\frac{\pi}2)=(2q+1)\left(\frac{p}{2q+1}-\frac{\pi}2\right)\overbrace{=}^{Q=2q+1}Q\left(\frac{p}Q-\frac{\pi}2\right)$$
Por el contrario, si $\frac{x}{\pi}-\frac32<y<\frac{x}{\pi}-\frac12$ es verdadera, entonces $D(x)=x-(y\pi+\frac{\pi}2)$ .
Esto se puede demostrar fácilmente observando la diferencia entre el límite superior( $\frac{x}{\pi}-\frac12$ ) y el límite inferior ( $\frac{x}{\pi}-\frac32$ ) es $1$ y $y$ es un número entero. Como la diferencia entre enteros consecutivos es $1$ Cada $x$ es única para su $y$ y viceversa, y por lo tanto lo contrario es cierto.
Dejemos que $\mu$ sea la medida de irracionalidad de $\frac{\pi}2$ . Dejemos que $\{(m,n)\}$ sea el conjunto de soluciones de $(p,Q)$ para la desigualdad (llámese $(1)$ ) $$0<\frac{p}Q-\frac{\pi}2<\frac1{Q^{\mu-\epsilon}}$$ (así $0<\frac{m}n-\frac{\pi}2<\frac1{n^{\mu-\epsilon}} $ )
Por la conjetura anterior, para cada $\epsilon>0$ el conjunto $\{(m,n)\}$ es infinito.
Trivialmente, también es cierto que $$0<\frac{m}n-\frac{\pi}2<\frac{\pi}{n}$$ si $\epsilon$ es lo suficientemente pequeño.
Con un poco de álgebra simple, se puede demostrar que esto es equivalente a $\frac{m}{\pi}-\frac32<n<\frac{m}{\pi}-\frac12$ . Por lo tanto, por el "teorema inverso" anterior $$D(m)=n\left(\frac{m}n-\frac{\pi}2\right)$$
Volver a $(1)$ obtenemos $$0<\frac{D}n<\frac1{n^{\mu-\epsilon}}\implies\color{BLUE}{0<D<\frac1{n^{\mu-\epsilon-1}}}$$
Esto implica $D$ puede ser arbitrariamente pequeño porque $n$ puede ser arbitrariamente grande debido a la infinitud del conjunto $\{m,n\}$ . Además, $D(p)$ mide la distancia entre $p$ y el polo izquierdo más cercano; así $p$ puede estar arbitrariamente cerca de un poste de la derecha.
A continuación, la desigualdad $$\tan(m)<-\left(m-n\pi-\frac{\pi}2\right)^{-1+\delta}$$ es cierto para cualquier $1>\delta>0$ y $D(m)$ suficientemente pequeño. (Recordemos que acabamos de demostrar $D$ puede ser arbitrariamente pequeño, en caso de que lo hayas olvidado).
$$\color{RED}{\tan(m)<-\left(m-n\pi-\frac{\pi}2\right)^{-1+\delta}=-D^{-1+\delta}<-\left(\frac1{n^{\mu-\epsilon-1}}\right)^{-1+\delta}}$$
Además, hemos demostrado que $$\frac{m}n-\frac{\pi}2<\frac{\pi}{n} $$ lo que implica $$m<\frac{\pi n}{2}+\pi$$
Junto con la desigualdad roja, obtenemos $$\color{GREEN}{m+\tan(m)<-\left(\frac1{n^{\mu-\epsilon-1}}\right)^{-1+\delta}+\frac{\pi n}{2}+\pi}$$
Debido al conjunto $\{(m,n)\}$ es infinito, $m,n$ puede ser arbitrariamente grande. Si el primer término del lado derecho es dominante, entonces $m+\tan( m)$ puede demostrarse que está acotada por números negativos arbitrariamente grandes, lo que implica que $m+\tan(m)$ no está acotado a la baja.
Para conseguir el dominio, necesitamos $$(1-\delta)(\mu-\epsilon-1)>1\implies\mu>\frac1{1-\delta}+1+\epsilon$$ significa $\mu$ no puede estar demasiado cerca de $2$ . No obstante, $\mu\left(\frac{\pi}2\right)$ es desconocido. (Creo que esto es bastante probable porque tiene sentido que $\pi$ es ligeramente más irracional que $e$ . Hay muchos debates sobre la medida de irracionalidad de $\pi$ .)
En caso de que $\mu\left(\frac{\pi}2\right)>2$ , $m+\tan(m)$ no está acotado a la baja.
En caso de que $\mu\left(\frac{\pi}2\right)=2$ , ya sea $m+\tan(m)$ está acotado a la baja no está determinado por el método anterior.
Esta no es una respuesta completa , sólo un resumen de las notas con una "visualización" y una visión del problema (que mantengo abierta durante un par de semanas y que me da pena abandonar).
Nota 1 . Desde Teorema de aproximación de Kronecker $$M=\left\{k\pi+n \mid k,n\in\mathbb{Z}\right\} \tag{1}$$ es denso en $\mathbb{R}$ .
Nota 2 . Función $f(x)=x+\tan{(x)}$ es continua en $\left(t\pi-\frac{\pi}{2},t\pi+\frac{\pi}{2}\right), \forall t\in\mathbb{Z}$ y tiene $\mathbb{R}$ como su rango (fácil de ver comprobando el comportamiento de la función en $-\frac{\pi}{2}$ y $\frac{\pi}{2}$ ). También $$f(-x)=-x+\tan{(-x)}=-x-\tan{(x)}=-f(x)$$
Nota 3 . Está claro que para $$\forall t_{k,n} \in M: f\left(t_{k,n}\right)=k\pi+n+\tan{(n)} \tag{2}$$ Ahora veamos los casos en los que $f(x)\leq0$ 
De los cuales, hay muchos para $x\leq0$ y se está volviendo bastante escaso para $x>0$ .
Nota 4 . Porque $M$ es denso en $\mathbb{R}$ (de Nota 1 ) podemos aproximar cualquier $x$ Satisfaciendo a $f(x)\leq0$ Por ejemplo $\left|x-t_{k_x,n_x}\right|<\delta$ y porque $f(x)$ es continua en casi todas partes (desde Nota 2 ), $f\left(t_{k_x,n_x}\right)$ se aproximará $f(x)$ Por ejemplo $\left|f(x)-f\left(t_{k_x,n_x}\right)\right|<\varepsilon$ . Esto significa que $$\forall x: f(x)\leq 0 \Rightarrow \exists t_{k_x,n_x}\in M: f(t_{k_x,n_x})\leq 0 \overset{(2)}{\Rightarrow} n_x+\tan{(n_x)}\leq-k_x \pi \tag{3}$$
Nota 5 . Hasta ahora hemos establecido la existencia de infinidad de $n,k\in \mathbb{Z}$ s.t. $n+\tan{(n)}\leq-k \pi$ . Obviamente, si queremos $n,k\in \mathbb{N}$ , de Nota 4 , $x$ tendrá que ser positivo. Pero, desde Nota 3 Estos intervalos son cada vez más escasos, aunque no están vacíos. $$\left(t\pi-\frac{\pi}{2},\alpha_t\right]: \tan{(\alpha_t)}=-\alpha_t$$ y queremos $k,n\in\mathbb{N}$ s.t. $$0<\color{red}{t\pi-\frac{\pi}{2}} < k\pi +n \leq \color{red}{\alpha_t}<t\pi \tag{4}$$ $t\in\mathbb{N}$ con los límites $0\leq n<\pi\left(t-\frac{1}{2}\right)$ y $0\leq k < t-\frac{1}{2}$ . No es muy difícil demostrar que
$$0<\alpha_t- t\pi+\frac{\pi}{2} \rightarrow 0, t \rightarrow \infty \tag{5}$$
Desde $$(4) \Rightarrow 0<\alpha_t- t\pi+\frac{\pi}{2}<\frac{\pi}{2} \Rightarrow -\frac{\pi}{2} < \alpha_t- t\pi < 0$$ lo que significa $\lim\limits_{t\rightarrow\infty} \alpha_t \rightarrow \infty$ desde $\lim\limits_{t\rightarrow\infty} t\pi \rightarrow \infty$ . Pero $$\tan{\left(\alpha_t- t\pi\right)}=\tan{(\alpha_t)}=-\alpha_t \rightarrow -\infty, t \rightarrow \infty$$ que sólo es posible cuando $\alpha_t- t\pi \rightarrow -\frac{\pi}{2} \Rightarrow 0<\alpha_t- t\pi+\frac{\pi}{2} \rightarrow 0, t \rightarrow \infty$ .
Nota 6 . De hecho (obligado por $(5)$ ), queremos $(4)$ lo más pequeño posible
$$0<\color{red}{t\pi-\frac{\pi}{2}} < k\pi +n \leq \color{red}{t\pi-\frac{\pi}{2}+\varepsilon} \iff \\ 0<2t\pi-\pi < 2k\pi+2n \leq 2t\pi-\pi+2\varepsilon \\ 0<2t\pi-\pi - 2k\pi < 2n \leq 2t\pi-\pi-2k\pi+2\varepsilon$$ $$\frac{\pi}{2} < \frac{n}{2(t-k)-1} \leq \frac{\pi}{2}+\frac{\varepsilon}{2(t-k)-1} \tag{6}$$ que conducen a denominadores Impares y a las mejores aproximaciones racionales de $\frac{\pi}{2}$ con denominadores Impares (e incluso A046965 y Newton/Euler ) explorado por las otras respuestas.
Creo que el ergodicidad de $\tan x$ podría utilizarse para demostrar que $n+\tan n$ no tiene límites. No soy capaz de demostrarlo con exactitud, así que dejo esta respuesta como una wiki comunitaria.
He dejado esta respuesta arriba: "Creo que la ergodicidad ( ams.org/journals/proc/1978-071-01/S0002-9939-1978-0473144-4/… ) de $\tan x$ puede utilizarse para demostrar que $n+\tan n$ no tiene límites. Pero no soy capaz de demostrarlo exactamente, por eso esta respuesta es una wiki comunitaria.
He abierto la respuesta como Wiki de la comunidad para que los expertos puedan ampliarla de un comentario a una respuesta completa
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Esto podría ayudar math.stackexchange.com/questions/159438/
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@leonbloy Puede ser algo útil, pero la divergencia de $\frac{\tan{n}}{n}$ no está del todo relacionado con $n+\tan n$ Creo que
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Bueno, si puedes demostrar que, digamos, hay infinitos valores de $n$ tal que $\tan(n)< -2n$ Entonces, ya está hecho. Sin embargo, no estoy seguro de que las referencias que hay puedan demostrarlo.
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Pregunta interesante (+1). Los numeradores de los convergentes de la fracción continua de $\frac{\pi}{2}$ son aparentemente buenos candidatos para dar resultados negativos con gran magnitud absoluta. Sin embargo, no estoy seguro de que esto sea suficiente para demostrar la conjetura.
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Un ejemplo espectacular que indica que la secuencia, de hecho, parece no tener límites : $$n=29973341381571568904696454415930130885472094353729$$ implica $$n+\tan(n)=-96430241781765207615806421837857889761609622768827.94009566\cdots $$
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$$3825751367438572721288064941140072998699766$$ $$982495809143557702771661080412376917282460965019427780239$$ da un número negativo con parte entera que tiene $101$ dígitos.
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[Secuencias tangentes, récords mundiales y el sentido de la vida: Algunas aplicaciones de la teoría de números al cálculo][1], página 372: Si $\frac{p_k}{q_k}$ es un convergente para $\frac{\pi}{2}=[a1;a2,a3...]$ con $q_k$ impar entonces $\frac{|\tan p_k|}{p_k}$ está dentro de $\frac23$ de $\frac{2(a_{k+1}+1)}{\pi}$ . Esto se traduce aproximadamente en $\frac{|\tan p_k|}{p_k}>2$ para $a_{k+1}\ge 4$ (que es bastante bajo) y $q_k$ impar (bastante común). El truco es que no hay una manera fácil de saber si $\tan p_k$ es negativo. [1]: jstor.org/stable/
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@Oldboy Con todo eso, adicionalmente requieren $k$ está en paz. Entonces la aproximación racional $p_k/q_k$ es ligeramente mayor que $\pi/2$ o $-\pi/2$ . Esto hace que $\tan p_k$ es negativo. Por lo tanto, tenemos que buscar $q_{2k}$ impar y $a_{2k+1}\geq 4$ que hace que $\tan p_{2k} <-2p_{2k}$ .
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@i707107 Buen detalle, se me olvidó señalar que los convergentes consecutivos están en diferentes lados de $\pi/2$ . Así que, en esencia, este problema es equivalente al siguiente: hay infinitos convergentes de $\pi/2$ tal que $q_{2k}$ es impar y $a_{2k+1}\ge 4$ .
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Esta es la lista de números, cada uno de los cuales empuja $\tan n-n$ más profundo en el agujero: 11, 52174, 573204, 396325638628212603442, 5947531272548328355975, 335683259730329753556884324, 63008132762960627316194351129, 1330493134030199016512466214474646, 2511033520371273238505726363636498516, 30364169484902872850253606297724205522, 29973341381571568904696454415930130885472094353729. ..
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Registros[límite_] : = Module[ {aList, convergentsList, pList, qList, k, res}, aList = ContinuedFraction[Pi/2, limit]; convergentsList = Convergents[Pi/2, limit]; pList = Numerador /@ convergentsList; qList = Denominador /@ convergentsList; res = {}; For[k = 2, k <= limit - 2, k += 2, If[Mod[qList[[k]], 2] == 1 && aList[[k + 1]] >= 4, AppendTo[res, pList[[k]]]]; ]; res ];
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El script anterior genera nuevos "porta registros" para $\tan n - n$ . El argumento $limit$ define el número de convergentes comprobados según los criterios pulidos por @i707107. Puedes crear una secuencia monstruosa bastante rápido.
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@Oldboy ¡Buen código! Creo que querías decir $\frac{\tan n}n$ más profundo en el agujero, ¿verdad? Además, como $6/\pi - 2/3$ se trata de $1.2$ basta con tener $a_{2k+1}\geq 2$ .
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@i707107 Creo que todos hemos olvidado lo que intentamos demostrar: que $\tan n + n$ es ilimitado desde abajo. Esto es cierto si $\tan n\lt-2n$ o $\tan n/n\lt -2$ para una infinidad de valores diferentes de $n$ . Mi script encuentra tales valores y así empuja el valor de $\tan n + n$ más en lo negativo.
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@Oldboy Cierto. Yo mencioné $a_{2k+1}\geq 2$ porque estos casos son fáciles de encontrar.
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Si se acepta la conjetura de que $\pi$ es un número normal (o más débil: Que toda posible secuencia finita de números naturales aparece en $\pi$ ), entonces hay una prueba fácil