46 votos

¿La secuencia $n+\tan(n), n \in\mathbb{N}$ ¿tiene un límite inferior?

¿Es la secuencia $n+\tan(n), n \in\mathbb{N}$ ¿acotado por debajo?

Intuitivamente creo que no está acotado por debajo, pero no tengo ni idea de cómo demostrarlo. Es como un problema de aproximación diofántica, pero la mayoría de los teoremas parecen ser demasiado débiles.

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@leonbloy Puede ser algo útil, pero la divergencia de $\frac{\tan{n}}{n}$ no está del todo relacionado con $n+\tan n$ Creo que

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Bueno, si puedes demostrar que, digamos, hay infinitos valores de $n$ tal que $\tan(n)< -2n$ Entonces, ya está hecho. Sin embargo, no estoy seguro de que las referencias que hay puedan demostrarlo.

5voto

Yuri Negometyanov Puntos 593

Cada número irracional se puede aproximar mediante fracciones continuas.

El resultado de cada una de estas aproximaciones para el número $$\dfrac\pi2=[1; 1, 1, 3, 31, 1, 145, 1, 4, 2, 8, 1, 6, 1, 2, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 41, 1, 2, 3, 7, 1, 1, 1, 27, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 49, 2, 1, 4, 3, 6, 2, 1, 3, 3, 17, 1, 3, 2, 1, ...]$$ puede representarse en forma de $$\dfrac{P_{2i-1}}{Q_{2i-1}}<\dfrac\pi2<\dfrac{P_{2i}}{Q_{2i}},$$ donde $$\dfrac{P_k}{Q_k}=\left\{\dfrac32,\dfrac{11}{7},\dfrac{344}{219},\dfrac{355}{226},\dfrac{51819}{32989},\dfrac{52174}{33215},\dfrac{260515}{165849},\dfrac{573204}{364913},\dfrac{4846147}{3085153},\dfrac{5419351}{3450066},\dfrac{37362253}{23785549},\dfrac{42781604}{27235615},\dfrac{122925461}{78256779},\dfrac{411557987}{262005952},\dfrac{534483448}{340262731},\dfrac{2549491779}{1623056876},\dfrac{3083975227}{1963319607},\dfrac{17969367914}{11439654911},\dfrac{21053343141}{13402974518},\dfrac{881156436695}{560961610149},\dfrac{902209779836}{574364584667},\dfrac{2685575996367}{1709690779483},\dfrac{8958937768937}{5703436923116},\dfrac{65398140378926}{41633749241295},\dfrac{74357078147863}{47337186164411},\dfrac{139755218526789}{88970935405706}\dots\right\}$$ donde $$\left(\dfrac{P_{2i}}{Q_{2i}}-\dfrac{P_{2i-1}}{Q_{2i-1}}\right) = \dfrac1{Q_{2i-1}Q_{2i}},\quad 0< Q_{2i-1} < Q_{2i}.$$ Entonces $$\dfrac{P_{2i}}{Q_{2i}} - \dfrac1{Q_{2i-1}Q_{2i}}<\dfrac\pi2<\dfrac{P_{2i}}{Q_{2i}},$$ $$P_{2i} - \dfrac1{Q_{2i-1}}<\dfrac\pi2Q_{2i}<P_{2i},$$ $$\dfrac\pi2Q_{2i}<P_{2i}<\dfrac\pi2Q_{2i}+ \dfrac1{Q_{2i-1}},$$ $$P_{2i}=\dfrac\pi2Q_{2i}+ \dfrac\theta{Q_{2i-1}},$$ donde $$\theta\in(0,1)\tag1.$$

Si $Q_{2i}$ es impar, entonces $$\tan P_{2i}=\tan\left({\dfrac\pi2Q_{2i}+ \dfrac\theta{Q_{2i-1}}}\right) = -\cot{\dfrac\theta{Q_{2i-1}}} = -\dfrac1{\tan{\dfrac\theta{Q_{2i-1}}}}.$$ Teniendo en cuenta la desigualdad $$\tan t \le \dfrac4\pi t,\quad t\in[0,1],\tag2$$ fácil de conseguir $$\tan P_{2i} < -\dfrac\pi{4\theta} Q_{2i-1}.\tag3$$ Por lo tanto, si las condiciones

  • $Q_{2i}$ es impar,
  • $\theta < \dfrac{2Q_{2i-1}}{P_{2i}},$

se satisfacen para la secuencia infinita de índices $i,$ entonces para esta secuencia $$P_{2i} + \tan P_{2i} < -\left(\dfrac\pi2-1\right)P_{2i},$$ y, teniendo en cuenta el aumento monotónico de la secuencia $P_{2i},$ la secuencia de emisión no puede ser acotada por debajo.

Por otro lado (sin prueba exacta), la subsecuencia con el impar $Q_{2i}$ en los ratios \begin{align} &\dfrac{P_{2i}}{Q_{2i}}=\Bigg\{\mathbf{\dfrac{11}{7}},\dfrac{355}{226},\mathbf{\dfrac{52174}{33215}},\mathbf{\dfrac{573204}{364913}},\dfrac{5419351}{3450066},\\ &\mathbf{\dfrac{42781604}{27235615}},\dfrac{411557987}{262005952},\dfrac{2549491779}{1623056876},\mathbf{\dfrac{17969367914}{11439654911}},\mathbf{\dfrac{881156436695}{560961610149}},\\ &\mathbf{\dfrac{2685575996367}{1709690779483}},\mathbf{\dfrac{65398140378926}{41633749241295}},\dfrac{139755218526789}{88970935405706}\dots\Bigg\} \end{align} debe ser ilimitado y, teniendo en cuenta $(1),$ la segunda condición, que utiliza la secuencia \begin{align} &\dfrac{Q_{2i-1}}{P_2i}=\Bigg\{\mathbf{\dfrac{219}{11}},\dfrac{32989}{355}, \mathbf{\dfrac{165849}{52174}}, \mathbf{\dfrac{3085153}{573204}}, \dfrac{23785549}{5419351},\\ &\mathbf{\dfrac{78256779}{42781604}}, \dfrac{340262731}{411557987},\dfrac{1963319607}{2549491779}, \mathbf{\dfrac{13402974518}{17969367914}}, \mathbf{\dfrac{574364584667}{881156436695}},\\ &\mathbf{\dfrac{5703436923116}{2685575996367}}, \mathbf{\dfrac{47337186164411}{65398140378926}}, \dots\Bigg\} \end{align} realmente no funciona.

Así que no hay razones para que las condiciones anteriores puedan hacer que la secuencia requerida sea limitada.

Esto significa que la secuencia $n+\tan(n)$ no está acotado por debajo de .

4voto

Szeto Puntos 16

Mi respuesta se basa en la conjetura (que es ligeramente diferente de la definición de medida de irracionalidad) de que, cuando $x=\frac{\pi}2$ para la desigualdad( $p,q\in\mathbb{N}$ ) $$0<\frac{p}q-x<\frac1{q^{\mu(x)-\epsilon}}$$ por cada $\epsilon>0$ existen infinitas soluciones $(p,q)$ con $q$ impar.

(Sinceramente, creo que esta conjetura es cierta).


Definamos en primer lugar una función $D(p)$ que mide la distancia entre $p$ y el polo más cercano de $\tan$ a la izquierda de $p$ .

es decir, si:

  1. $x_0$ es un poste;
  2. $x_0<p$ ;
  3. $\tan$ es analítica en el intervalo $(x_0,p]$ , entonces $D(p)=x_0$

Para $p,q\in\mathbb{N}$ se puede demostrar que $$D(p)=p-(q\pi+\frac{\pi}2)$$ donde $\frac{p}{\pi}-\frac32<q<\frac{p}{\pi}-\frac12$ .

Reescribiendo un poco, $$D(p)=p-(q\pi+\frac{\pi}2)=(2q+1)\left(\frac{p}{2q+1}-\frac{\pi}2\right)\overbrace{=}^{Q=2q+1}Q\left(\frac{p}Q-\frac{\pi}2\right)$$


Por el contrario, si $\frac{x}{\pi}-\frac32<y<\frac{x}{\pi}-\frac12$ es verdadera, entonces $D(x)=x-(y\pi+\frac{\pi}2)$ .

Esto se puede demostrar fácilmente observando la diferencia entre el límite superior( $\frac{x}{\pi}-\frac12$ ) y el límite inferior ( $\frac{x}{\pi}-\frac32$ ) es $1$ y $y$ es un número entero. Como la diferencia entre enteros consecutivos es $1$ Cada $x$ es única para su $y$ y viceversa, y por lo tanto lo contrario es cierto.


Dejemos que $\mu$ sea la medida de irracionalidad de $\frac{\pi}2$ . Dejemos que $\{(m,n)\}$ sea el conjunto de soluciones de $(p,Q)$ para la desigualdad (llámese $(1)$ ) $$0<\frac{p}Q-\frac{\pi}2<\frac1{Q^{\mu-\epsilon}}$$ (así $0<\frac{m}n-\frac{\pi}2<\frac1{n^{\mu-\epsilon}} $ )

Por la conjetura anterior, para cada $\epsilon>0$ el conjunto $\{(m,n)\}$ es infinito.

Trivialmente, también es cierto que $$0<\frac{m}n-\frac{\pi}2<\frac{\pi}{n}$$ si $\epsilon$ es lo suficientemente pequeño.

Con un poco de álgebra simple, se puede demostrar que esto es equivalente a $\frac{m}{\pi}-\frac32<n<\frac{m}{\pi}-\frac12$ . Por lo tanto, por el "teorema inverso" anterior $$D(m)=n\left(\frac{m}n-\frac{\pi}2\right)$$

Volver a $(1)$ obtenemos $$0<\frac{D}n<\frac1{n^{\mu-\epsilon}}\implies\color{BLUE}{0<D<\frac1{n^{\mu-\epsilon-1}}}$$

Esto implica $D$ puede ser arbitrariamente pequeño porque $n$ puede ser arbitrariamente grande debido a la infinitud del conjunto $\{m,n\}$ . Además, $D(p)$ mide la distancia entre $p$ y el polo izquierdo más cercano; así $p$ puede estar arbitrariamente cerca de un poste de la derecha.


A continuación, la desigualdad $$\tan(m)<-\left(m-n\pi-\frac{\pi}2\right)^{-1+\delta}$$ es cierto para cualquier $1>\delta>0$ y $D(m)$ suficientemente pequeño. (Recordemos que acabamos de demostrar $D$ puede ser arbitrariamente pequeño, en caso de que lo hayas olvidado).

$$\color{RED}{\tan(m)<-\left(m-n\pi-\frac{\pi}2\right)^{-1+\delta}=-D^{-1+\delta}<-\left(\frac1{n^{\mu-\epsilon-1}}\right)^{-1+\delta}}$$


Además, hemos demostrado que $$\frac{m}n-\frac{\pi}2<\frac{\pi}{n} $$ lo que implica $$m<\frac{\pi n}{2}+\pi$$

Junto con la desigualdad roja, obtenemos $$\color{GREEN}{m+\tan(m)<-\left(\frac1{n^{\mu-\epsilon-1}}\right)^{-1+\delta}+\frac{\pi n}{2}+\pi}$$


Debido al conjunto $\{(m,n)\}$ es infinito, $m,n$ puede ser arbitrariamente grande. Si el primer término del lado derecho es dominante, entonces $m+\tan( m)$ puede demostrarse que está acotada por números negativos arbitrariamente grandes, lo que implica que $m+\tan(m)$ no está acotado a la baja.

Para conseguir el dominio, necesitamos $$(1-\delta)(\mu-\epsilon-1)>1\implies\mu>\frac1{1-\delta}+1+\epsilon$$ significa $\mu$ no puede estar demasiado cerca de $2$ . No obstante, $\mu\left(\frac{\pi}2\right)$ es desconocido. (Creo que esto es bastante probable porque tiene sentido que $\pi$ es ligeramente más irracional que $e$ . Hay muchos debates sobre la medida de irracionalidad de $\pi$ .)

En caso de que $\mu\left(\frac{\pi}2\right)>2$ , $m+\tan(m)$ no está acotado a la baja.

En caso de que $\mu\left(\frac{\pi}2\right)=2$ , ya sea $m+\tan(m)$ está acotado a la baja no está determinado por el método anterior.

1voto

rtybase Puntos 430

Esta no es una respuesta completa , sólo un resumen de las notas con una "visualización" y una visión del problema (que mantengo abierta durante un par de semanas y que me da pena abandonar).

Nota 1 . Desde Teorema de aproximación de Kronecker $$M=\left\{k\pi+n \mid k,n\in\mathbb{Z}\right\} \tag{1}$$ es denso en $\mathbb{R}$ .


Nota 2 . Función $f(x)=x+\tan{(x)}$ es continua en $\left(t\pi-\frac{\pi}{2},t\pi+\frac{\pi}{2}\right), \forall t\in\mathbb{Z}$ y tiene $\mathbb{R}$ como su rango (fácil de ver comprobando el comportamiento de la función en $-\frac{\pi}{2}$ y $\frac{\pi}{2}$ ). También $$f(-x)=-x+\tan{(-x)}=-x-\tan{(x)}=-f(x)$$


Nota 3 . Está claro que para $$\forall t_{k,n} \in M: f\left(t_{k,n}\right)=k\pi+n+\tan{(n)} \tag{2}$$ Ahora veamos los casos en los que $f(x)\leq0$ enter image description here De los cuales, hay muchos para $x\leq0$ y se está volviendo bastante escaso para $x>0$ .


Nota 4 . Porque $M$ es denso en $\mathbb{R}$ (de Nota 1 ) podemos aproximar cualquier $x$ Satisfaciendo a $f(x)\leq0$ Por ejemplo $\left|x-t_{k_x,n_x}\right|<\delta$ y porque $f(x)$ es continua en casi todas partes (desde Nota 2 ), $f\left(t_{k_x,n_x}\right)$ se aproximará $f(x)$ Por ejemplo $\left|f(x)-f\left(t_{k_x,n_x}\right)\right|<\varepsilon$ . Esto significa que $$\forall x: f(x)\leq 0 \Rightarrow \exists t_{k_x,n_x}\in M: f(t_{k_x,n_x})\leq 0 \overset{(2)}{\Rightarrow} n_x+\tan{(n_x)}\leq-k_x \pi \tag{3}$$


Nota 5 . Hasta ahora hemos establecido la existencia de infinidad de $n,k\in \mathbb{Z}$ s.t. $n+\tan{(n)}\leq-k \pi$ . Obviamente, si queremos $n,k\in \mathbb{N}$ , de Nota 4 , $x$ tendrá que ser positivo. Pero, desde Nota 3 Estos intervalos son cada vez más escasos, aunque no están vacíos. $$\left(t\pi-\frac{\pi}{2},\alpha_t\right]: \tan{(\alpha_t)}=-\alpha_t$$ y queremos $k,n\in\mathbb{N}$ s.t. $$0<\color{red}{t\pi-\frac{\pi}{2}} < k\pi +n \leq \color{red}{\alpha_t}<t\pi \tag{4}$$ $t\in\mathbb{N}$ con los límites $0\leq n<\pi\left(t-\frac{1}{2}\right)$ y $0\leq k < t-\frac{1}{2}$ . No es muy difícil demostrar que

$$0<\alpha_t- t\pi+\frac{\pi}{2} \rightarrow 0, t \rightarrow \infty \tag{5}$$

Desde $$(4) \Rightarrow 0<\alpha_t- t\pi+\frac{\pi}{2}<\frac{\pi}{2} \Rightarrow -\frac{\pi}{2} < \alpha_t- t\pi < 0$$ lo que significa $\lim\limits_{t\rightarrow\infty} \alpha_t \rightarrow \infty$ desde $\lim\limits_{t\rightarrow\infty} t\pi \rightarrow \infty$ . Pero $$\tan{\left(\alpha_t- t\pi\right)}=\tan{(\alpha_t)}=-\alpha_t \rightarrow -\infty, t \rightarrow \infty$$ que sólo es posible cuando $\alpha_t- t\pi \rightarrow -\frac{\pi}{2} \Rightarrow 0<\alpha_t- t\pi+\frac{\pi}{2} \rightarrow 0, t \rightarrow \infty$ .


Nota 6 . De hecho (obligado por $(5)$ ), queremos $(4)$ lo más pequeño posible

$$0<\color{red}{t\pi-\frac{\pi}{2}} < k\pi +n \leq \color{red}{t\pi-\frac{\pi}{2}+\varepsilon} \iff \\ 0<2t\pi-\pi < 2k\pi+2n \leq 2t\pi-\pi+2\varepsilon \\ 0<2t\pi-\pi - 2k\pi < 2n \leq 2t\pi-\pi-2k\pi+2\varepsilon$$ $$\frac{\pi}{2} < \frac{n}{2(t-k)-1} \leq \frac{\pi}{2}+\frac{\varepsilon}{2(t-k)-1} \tag{6}$$ que conducen a denominadores Impares y a las mejores aproximaciones racionales de $\frac{\pi}{2}$ con denominadores Impares (e incluso A046965 y Newton/Euler ) explorado por las otras respuestas.

0voto

schmidty Puntos 703

Creo que el ergodicidad de $\tan x$ podría utilizarse para demostrar que $n+\tan n$ no tiene límites. No soy capaz de demostrarlo con exactitud, así que dejo esta respuesta como una wiki comunitaria.

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He dejado esta respuesta arriba: "Creo que la ergodicidad ( ams.org/journals/proc/1978-071-01/S0002-9939-1978-0473144-4/… ) de $\tan x$ puede utilizarse para demostrar que $n+\tan n$ no tiene límites. Pero no soy capaz de demostrarlo exactamente, por eso esta respuesta es una wiki comunitaria.

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Esto podría haber sido un comentario.

2 votos

He abierto la respuesta como Wiki de la comunidad para que los expertos puedan ampliarla de un comentario a una respuesta completa

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