Cada número entero mayor que 5 ser escrito como la suma de exactamente un primer y un compuesto?

Question

He trabajado a cabo hasta el 15.

6 = 4 + 2
7 = 4 + 3
8 = 6 + 2
9 = 4 + 5
10 = 8 + 2
11 = 9 + 2
12 = 10 + 2
13 = 10 + 3
14 = 9 + 5
15 = 12 + 3

¿Esta tendencia continúe para siempre? Me siento como la respuesta es obvia, pero es solo que no estoy viendo.

Answer 1

Si $n$ es incluso, a continuación,$n=2+(n-2)$, e $n-2$ es par, entonces es un número compuesto. Si, ahora, $n$ es impar, $n=3+(n-3)$, e $n-3$ es incluso.

Answer 2

Después de ver a @detnvvp la brillante respuesta a esta pregunta, uno se queda a preguntarse si se puede generalizar.

Teorema: Para el número natural $k$, cada número suficientemente grande $n$ es una suma de un número primo y un múltiplo de $k$ fib $k=1$ o $k$ es primo.

Prueba: El problema se reduce a encontrar un primer $p_i=i\pmod k$ por cada $0\le i<k$, para luego podemos tomar $n=p_i+(n-p_i)$ siempre $n\equiv i\pmod k$, por lo que el $k\mid n-p_i$. Para $k=1$, $p_0=2$ obras, y detnvvp la respuesta que cubre el caso en el $k=2$$p_0=2$$p_1=3$. Continuando, tenemos, por $k=3$: $p_0=3,p_1=7,p_2=2$.

Más generalmente, si $k$ es primo, entonces podemos tomar $p_0=k$, y para cada una de las $0<i<k$ tenemos $\gcd(i,k)=1$, de modo que por el teorema de Dirichlet, hay una infinidad de números primos en la progresión aritmética $i,i+k,i+2k,\dots$, y podemos elegir uno de ellos para ser $p_i$.

Si $k$ es compuesto, entonces no hay elección posible para $p_0$. Para cada una de las $n$ que es un múltiplo de a $k$, debemos sumar un primer y un múltiplo de $k$ para obtener un múltiplo de $k$, por lo que el primer también debe ser un múltiplo del número compuesto $k$, una contradicción. $\tag*{$\square$}$

Para $k$ compuesto, el mismo método que en el primer caso nos permite encontrar el $p_i$$\gcd(i,k)=1$, y también se puede tomar $p_q=q$ para cada divisor primo de $k$, pero para todos los demás $i$ no hay solución. Mediante la combinación de este para diferentes opciones de $k$, podemos obtener mejores resultados:

Teorema: no Hay ningún conjunto finito de compuesto de números de $K$ de tal forma que cada número suficientemente grande es la suma de un número primo y un múltiplo de algunos $k\in K$. (Sugerencia: Considerar los múltiplos de $\prod_{k\in K} k$.)

Lo que si no arreglamos los factores, pero sólo para exigir que el número compuesto de tener al menos $m$ factores? Aquí el método de congruencias no parece ser tan eficaz, y no sé la respuesta, aunque me gustaría pensar que es cierto:

Conjetura: Para cada una de las $m$, cada número suficientemente grande $n$ es la suma de un número primo y un número con al menos $m$ factores.