¿En un % de espacio de Hilbert $H$de dimensión infinita, $A=\left{x\in H:2\leq |x|\leq 5\right}$ es compacto? (totalmente acotada y completa) Gracias de antemano.
Respuestas
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voldemort
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La respuesta es no. La prueba general en un espacio normado se puede hacer usando lema de Riesz.
En Hilberst espacios, puede utilizar una prueba más fácil como sigue: tomar ${v_1,v_2,\cdots v_n, \cdots }$ ser un o.n.b. Entonces considen $u_n=2v_n$. $||u_n||=2$ $||u_n-u_m||^2=4+4=8$ (consulta).
Así, $u_n$ no tiene un subsequence convergente.
ray247
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Este no es compacto. Considerar los puntos $$ A_1=(2,\cdots), A_2=(1,1,\cdots ), A_3=(\sqrt{\frac{2}{3}},\sqrt{\frac{2}{3}},\sqrt{\frac{2}{3}}\cdots) $$ donde por $A_{n}$, cada coordenada en $1\cdots n$ dimensión tiene valor $\sqrt{\frac{2}{n}}$ y todas las demás coordenadas de valor es $0$. Entonces tenemos: $$ |A_{n}|=2, \forall n $$ así como $$ A_{n}\rightarrow 0 $$ suponga $A_{n}$ es convergente.
Si el conjunto que se describe es compacto, entonces $A_{n}$ debe tener un convergentes larga. Pero esto no se sostiene desde $|0|=0$. Aquí estoy asumiendo $H\cong l^{2}$.
