Energy-Momentum Tensor para electromagnetismo en espacio curvo

Question

$\newcommand{\l}{\mathcal L} \newcommand{\g}{\sqrt{-g}}$$\newcommand{\fdv}[2]{\frac{\delta #1}{\delta #2}}$Quiero calcular la energía-impulso del tensor en la curva el espacio libre por la diferenciación funcional con respecto a la métrica. La densidad Lagrangiana que tengo con unidades de $c=1$ es la siguiente

$$\l = \g \left(- \frac 1 4 F^{\mu \nu} F_{\mu \nu} \right).$$

He calculado la variación de la acción $\delta S$

$$\delta S = \frac 1 2 \int\g \left(\frac 1 4 F^{\mu \nu} F_{\mu \nu} g_{\rho \sigma} - F^\tau_{\;\;\rho} F_{\tau \sigma} \right) \delta g^{\rho \sigma} - \g F^{\mu \nu} (\delta F_{\mu \nu})\; \mathrm d^4 x. \tag 1 $$

Sin embargo, no puede deshacerse de la $\delta F_{\mu \nu}$ plazo. He mirado en la Wikipedia y he visto que el tensor de inercia de energía con menor índice es el término en corchetes, lo que me hace pensar que la siguiente asociación es correcta

$$F^{\mu \nu} (\delta F_{\mu \nu}) \leftrightarrow T_{\rho \sigma} \delta g^{\rho\sigma} .\tag 2 $$

Mediante la asociación de $(2)$, me puede escribir la ecuación de $(1)$

$$\delta S = \frac 1 2 \int\g \left[ \left(\frac 1 4 F^{\mu \nu} F_{\mu \nu} g_{\rho \sigma} - F^\tau_{\;\;\rho} F_{\tau \sigma} \right) - T_{\rho \sigma} \right] \delta g^{\rho\sigma} \; \mathrm d^4 x \quad ,$$

así que

$$\frac 2 \g \fdv \l {g^{\rho \sigma}} = \left(\frac 1 4 F^{\mu \nu} F_{\mu \nu} g_{\rho \sigma} - F^\tau_{\;\;\rho} F_{\tau \sigma} \right) - T_{\rho \sigma} = 0 $$

$$ \implies T_{\rho \sigma} = \frac 1 4 F^{\mu \nu} F_{\mu \nu} g_{\rho \sigma} - F^\tau_{\;\;\rho} F_{\tau \sigma} \quad , $$

que es el resultado correcto, pero no está claro para mí por qué me la asociación de $(2)$ debe ser cierto.

Answer 1

El tensor de inercia de energía se encuentra por la variación de la métrica y la celebración de todos los otros campos constante. Desde que claramente $$\frac{\partial F}{\partial g}=0\longleftrightarrow \delta_gF=0$$ terminamos con $$\delta_g S=\frac{1}{2}\int\mathrm{d}v\,\left(F^2g_{\mu\nu}/4-F^\tau{}_\mu F_{\tau\nu}\right)\delta g^{\mu\nu}$$ y la comparación con $$\delta_gS:=\frac{1}{2}\int\mathrm{d}v\,T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}$$ conduce al resultado correcto.

Tenga en cuenta que lo que realmente estamos variando aquí es sólo la cuestión de la acción. El total general relativista de acción contiene la de Einstein-Hilbert gravitacional de la acción, la constante cosmológica plazo y de un término. Juntos, hemos $$ S_\mathrm{GR}=S_\mathrm{EH}+S_\Lambda+S_\mathrm{M}$$ Es cierto que la variación de este se desvanece wrt. la métrica, es decir,$\delta_g S_\mathrm{GR}=0$. Sin embargo, la energía-impulso del tensor se calcula mediante el examen sólo $\delta_g S_\text{M}$, lo que generalmente no es cero.

Answer 2

La de Einstein-Hilbert de lagrange junto a una cuestión de acción $$ S_m[\varphi,g] = \int d^Dx\, \sqrt {g}\mathcal L_m(\varphi,\partial_\mu\varphi), $$ es decir, $$ S[g,\varphi] = \frac{1}{16\pi G}\int d^Dx\,\sqrt {g} R + \int d^Dx\,\sqrt {g} \mathcal L_m(\varphi,\partial_\mu\varphi), $$ satisface $$ \delta S=-\frac{1}{16\pi G} \int d^Dx\, \sqrt {g} \mathcal E^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu} + \int d^Dx\, \sqrt {g} \frac{1}{\sqrt {g}}\frac{\delta\left( \sqrt {g}\mathcal L_m\right)}{\delta g_{\mu\nu}}\delta g_{\mu\nu} $$ donde $\mathcal E_{\mu\nu}$ es el tensor de Einstein $R_{\mu\nu}-g_{\mu\nu}R/2$ y, por tanto, definimos el Rosenfeld de energía-impulso del tensor de $$\boxed{ T^{\mu\nu} = \frac{2}{\sqrt {g}}\frac{\delta\left( \sqrt {g}\mathcal L_m\right)}{\delta g_{\mu\nu}}= \frac{2}{\sqrt {g}}\frac{\delta S_m[\varphi, g]}{\delta g_{\mu\nu}}} $$ llegar $$ dS=-\frac{1}{16\pi G}\int d^Dx\,\sqrt {g}\left(\mathcal E^{\mu\nu}- 8\pi G T^{\mu\nu} \right)\delta g_{\mu\nu}. $$ La acción de una masa de vectores $A_\mu$ donde $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu=\nabla_\mu A_\nu-\nabla\nu A_\mu$, puede ser escrito como \begin{align*} S_m =&\ -\frac{1}{4}\int d^Dx\, \sqrt{-g}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} = -\frac{1}{2} \int d^Dx\, \sqrt{-g} A_\mu \left(-g^{\mu\nu}\Box+\nabla^{\nu}\nabla^\mu\right)A_\nu. \end{align*} De modo que las ecuaciones de movimiento para $A_\mu$ $$ \left(-g^{\mu\nu}\+\nabla^{\nu}\nabla^\mu\right)A_\nu=0. $$ La energía-impulso tensor es más fácil expresar a partir de la primera forma de la acción: $$ \delta S_m = - \frac{1}{4}\int d^Dx\, \frac{1}{2} \sqrt {g} g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu} F_{\mu\nu}F_{\alpha\beta}g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta} +\frac{1}{2}\int d^Dx\, \sqrt {g} F_{\mu\nu}F_{\alpha\beta}g^{\mu\alpha}g^{\nu\sigma} g^{\beta\tau}\delta g_{\sigma\tau} $$ a partir de la cual $$\boxed{ T^{\mu\nu} = F^{\alpha\mu} F^{\beta\nu}g_{\alpha\beta}-\frac{1}{4}g^{\mu\nu}F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma}}=F^{\alpha\mu} F^{\beta\nu}g_{\alpha\beta}+g^{\mu\nu} \mathcal L_m, $$ y las ecuaciones de Einstein $$ R^{\mu\nu}-\frac{1}{2}g^{\mu\nu}R+\Lambda g^{\mu\nu} =8\pi G T^{\mu\nu}. $$

Answer 3

Comentario a la pregunta (v2): la asociación (2) no es correcta. Para encontrar el tensor de Hilbert SEM , uno varía la acción wrt. la métrica$g_{\mu\nu}$; no wrt. el potencial del medidor$A_{\mu}$ (o la intensidad del campo$F_{\mu\nu}$).