Encontrar todas las funciones con $f(x + y) + f(x - y) = 2 f(x) f(y)$$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0$.

Question

Determinar todas las funciones $f \colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ satisfacer las dos condiciones siguientes:

(a) $f(x +y) + f(x - y) = 2 f(x) f(y)$ todos los $x, y\in\mathbb{R}$;

(b) $\lim\limits_{x\to\infty}f(x) = 0$.

He encontrado este problema en la OMI 1985 longlist. He sido capaz de entender que no hay una solución de la forma $f(x) = 0$ todos los $x$.

Cualquier otra función que satisface la anterior tiene que tener $f(0) = 1$$f(x) = f(-x)$.

Sin embargo no sé cómo proceder.

Los pensamientos?

Answer 1

Para cualquier $x_0,y\in\mathbb{R}$, vamos a $x=y+x_0$, luego tenemos

$f(2y+x_0)+f(x_0)=2f(y+x_0)f(y)$

Por lo tanto,

$f(x_0) = 2f(y+x_0)f(y)-f(2y+x_0),\quad \forall y\in\mathbb{R}$

En consecuencia,

$\displaystyle f(x_0) = \lim_{y\to\infty}\left[f(x_0)\right] = \lim_{y\to\infty}\left[2f(y+x_0)f(y)-f(2y+x_0)\right] = 0$.

Answer 2

El uso de $x=y$,$f(2x) = 2f(x)^2 - 1$. Pick $X>0$ lo suficientemente grande como para que $|f(x)| < 1/2$ todos los $x \ge X$. A continuación,$|f(2X)| > 1/2$, una contradicción.

Answer 3

Esto es realmente un comentario, no una solución, pero no tengo esa opción. Si sólo se considera el funcional de la ecuación (a), entonces hay un montón de interesantes soluciones, es decir,$\cos ax$$\cosh ax$. Si uno de los "trucos" y utiliza imaginario argumentos, uno puede combinar estas en una fórmula. Por el método estándar de la inserción de una potencia de la serie y la comparación de los coeficientes, se puede mostrar que estas son las únicas soluciones analíticas. Presumiblemente, un mínimo de suavidad condiciones en una solución implicaría la analiticidad. Sin embargo, hay patológico no medible de soluciones. Por supuesto, estas soluciones no son relevantes para la pregunta original, ya que no se desvanecen en el infinito.