Producto de funciones y producto de sus integrales

Question

Demuestre que si $f_1,\ldots,f_n$ son funciones continuas no negativas definidas en $[0,1]$ entonces existe algún $x \in [0,1]$ tal que $$f_1(x)f_2(x) \cdots f_n(x) \leq \int_0^1f_1 \int_0^1f_2 \cdots \int_0^1 f_n$$

Este fue el problema del mes de mi antiguo departamento de matemáticas recientemente, y no he podido resolverlo. No puedo llegar a ninguna parte con los teoremas más simples del análisis, como los teoremas del valor medio. Me gustaría resolverlo por mí mismo, así que se agradecen los consejos.

Answer 1

¿Puede hacer el caso en el que $ n = 1 $ ? Para el caso general, dejemos $ R(x_1, x_2, \cdots, x_n ) = f_1(x_1) f_2(x_2) \cdots f_n(x_n) $ . Entonces $ \int_I R $ es el lado derecho, donde $ I = [0,1]^n $ .

Answer 2

Supongamos que esto no sucede. Entonces, eleva ambos lados al 1/n, y utiliza la desigualdad generalizada de Holder para llegar a una contradicción.