Irreductibilidad en$\mathbb{Z}[\sqrt{-2}][X]$

Question

Estoy trabajando en la siguiente pregunta:

(a) Probar que el anillo de $R = \mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ es la Euclídea.

(b) Mostrar que el $R/(3+2\sqrt{-2})$ es un campo. ¿Cuál es la característica de este campo?

(c) demuestre que el polinomio $X^4+3$ es irreducible sobre el campo $\mathbb{F}_{17}$ $17$ elementos; y deducir que $f(X) = X^4 − 170X^3 + 9 + 4\sqrt{−2} \in R[X]$ es irreductible.

(d) Es el polinomio $Y^4 −f(X)\in R[X,Y]$ irreductible? (Por qué?)

He hecho la parte (a). Para (b) me dijo que por (a), $R$ es un PID, por lo tanto el primer y el irreductible son equivalentes. Por lo tanto $(3+2\sqrt{-2})$ es maximal si y solo si $3+2\sqrt{-2}$ es primo. Ahora el uso de la norma de la función definida por $$\varphi\colon R\setminus\{0\}\to\mathbb{N}_{>0}$$ where $\varphi(a+b\sqrt{-2}) = a^2+2b^2,$ we have that $\varphi(3+2\sqrt{-2}) = 9 + 8 = 17,$ which is prime in $\mathbb{Z}$, hence $3+2\sqrt{-2}$ is prime in $R$. Therefore $R/(3+2\sqrt{-2})$ is a field. I'm not sure how to determine the characteristic. I had hoped to get some relation using $$3+2\sqrt{-2}=0,$$ pero yo no estaba llegando a ningún lado.

Para (c), no sé la mejor manera de hacer esto. Una forma sería la de comprobar que para $n\in\{0,1,\dots,16\}$ tenemos que $n^4+3\not\equiv 0\bmod{17}$ a demostrar que no es no lineal factor. Entonces podríamos probar que $$X^4+3 = (X^2+aX+b)(X^2+cX+d)$$ has no solutions for $a,b,c,d\in\mathbb{F}_{17}$. Hay un método mejor?

Para (d), estoy pensando en $Y^4-f(X)$ es irreductible por Eisenstein?

Answer 1

Para$(c)$ un factor cuadrático$f$ no puede existir, sino que en$\,\Bbb F_{17^{\large 2}} = \Bbb F_{17}[x]/f\,$ obtenemos una contradicción

ps

Answer 2

Tratando el mismo que el de los Enteros de Gauss, y que denotan $\;I:=\langle 3+2\sqrt{-2}\rangle\le\Bbb Z[\sqrt{-2}]\;$, defina los siguientes anillo homomorphism (la canónica de proyección)

$$\phi:\Bbb Z\to\Bbb Z[\sqrt{-2}]/I\;,\;\;\phi(m):=m+I$$

A partir de esto, claramente tenemos que

$$m\in\ker\phi=\Bbb Z\cap I\iff m=(3+2\sqrt{-2})(a+b\sqrt{-2})=3a-4b +(3b+2a)\sqrt{-2}\iff$$

$$2a+3b=0\iff2a=-3b\implies \ker\phi=\left\{\,\left(3+2\sqrt{-2}\right)\left(-\frac32b+b\sqrt{-2}\right)\,\right\}=$$

$$\left\{\,-\frac92b-4b=-\frac{17}2b\,\right\}=17\Bbb Z\cong\Bbb F_{17}$$

desde que claramente debe ser ese $\;b\;$ es incluso (de lo contrario $\;2a+3b=0\;$ es imposible), y conseguir que la característica del campo es $\;17\;$ .

Para mostrar $\;x^4+3\in\Bbb F_{17}[x]\;$ es irreductible: en primer lugar, demostrar que no ha raíces en $\;\Bbb F_{17}\;$. Ahora, si factores como el producto de dos cuadráticas: como $\;f(x)=x^2-3\in\Bbb F_{17}[x]\;$ es irreductible (marcar lo que las plazas modulo $\;17\;$...), a continuación,$\;\Bbb F_{17}[x]/\langle f(x)\rangle\cong\Bbb F_{17^2}\;$ . De aquí que tanto cuadráticas en la factorización de $\;x^4+3\;$ debe dividir en el último campo (recuerden: no hay un único campo de cualquier orden de una potencia de un primo), lo que significa que $\;\sqrt[4]{-3}\;$ existe...Hay algunos criterios para la irreductibilidad sobre campos finitos de cúbicas y cuárticas (Por Skolem, Leonard y etc.), pero la verdad, no sé de ellos.

Answer 3

Partes (a),(b),(c) se han manejado por otros. Quiero agregar el siguiente punto de vista a Bill Dubuque del argumento.

La reciprocidad cuadrática demuestra que tanto el $\pm3$ son cuadrática no residuos modulo $17$. Debido a $17$ es una de Fermat prime, $17-1=2^4$, esto ya implica que tanto $\pm3$ son de orden dieciséis en $\Bbb{F}_{17}^*$ (por Euler los residuos cuadráticos son las soluciones de $x^8\equiv1$). Como $16$ es aún se sigue que cualquier cero de $x^4\pm3$ debe ser una raíz de la unidad de la orden exactamente $64$. Pero $m=4$ es el menor exponente tales que $$17^m\equiv1\pmod{64},$$ así que los ceros de $x^4\pm3$ generar el campo $\Bbb{F}_{17^4}$ y, por tanto, $x^4\pm3$ son tanto irreductible.

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Esto explica por qué el proyecto de Ley del argumento trabajo, y muestra que el mismo cálculo funcionará con cualquier cuadrática no-residuo en lugar de $3$. También, a menudo utilizo el mismo método para deducir los grados de los factores de binomios $m(x)=x^n-a$ modulo $p$. Encontrar el orden de $\ell$ $a$ modulo $p$, y, a continuación, tratar de deducir el orden de $L$ cero $\alpha$ $m(x)$ en algunos extensión del campo de $\Bbb{F}_p$. La advertencia es que no siempre tenemos $L=n\ell$, debido a $\ell$ pueden tener factores primos que no son compartidos por $n$. Pensar acerca de la regla familiar de cíclico grupos: $$ \ell=\operatorname{ord}(a)=\operatorname{ord}(\alpha^n)=\frac{\operatorname{ord}(\alpha)}{\gcd(n,\operatorname{ord}(\alpha))}=\frac{L}{\gcd(n,L)} $$ que reduce las posibilidades de $L$. Con posibilidades de $L$ conoce a partir de esto, podemos identificar a la menor extensión de los campos de $\Bbb{F}_p$ que contiene las raíces de la unidad de la orden de $L$ anterior.

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Incluyendo tanto $\pm3$ anterior nos da la siguiente fórmula para la solución de (d). Si $$ Y^4-f(X)=g(X,Y)h(X,Y) $$ a continuación, también se $Y^4-f(0)=g(0,Y)h(0,Y)$$R[Y]$. La reducción de este modulo $\mathfrak{p}=(3+2\sqrt{-2})$ y el hecho de que $f(0)\equiv3\pmod{\mathfrak{p}}$ conduce a una factorización de $Y^4-3$$\Bbb{F}_{17}[Y]$. Acabamos de ver que tal factorización debe ser trivial, por lo $g(0,Y)$ (o $h(0,Y)$) se debe reducir a una constante modulo $\mathfrak{p}$. Pero las principales potencias de $Y$ $g(X,Y)$ debe tener el coeficiente de $\pm1$, por lo que podemos concluir que $g(X,Y)\in R[X]$ lo cual es absurdo.

Se puede utilizar, por supuesto, (c) y $f(X)=g(X,0)h(X,0)$ a la conclusión de que cualquiera de las $g(X,0)$ o $h(X,0)$ debe ser una constante. No sé de qué manera es más fácil

Answer 4

para la parte (b) para encontrar la característica del campo$J=R/(3+2\sqrt{-2})$, encuentre el orden de$1$ en el subgrupo aditivo de$J$.