Resolver para

Question

Encuentre el par ordenado$(\alpha,\beta)$ con% no infinito $\beta \ne 0$ tal que$$\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n^2]{1!2!\cdots n!}}{n^\alpha} = \beta$ $

Mi acercamiento:

ps

Entonces$$\ln (1!2!\cdots n!) = (n)\ln 1 + (n-1)\ln 2 + \cdots + (2)\ln (n-1) + \ln(n) \\ \begin{align} = n\ln\left(\frac{1}{n}\right) + (n-1)\ln\left(\frac{2}{n}\right) + \cdots + \ln\left(\frac{n}{n}\right) + \frac{(n)(n+1)}{2} \ln (n)\end{align}$ $

Y eso es todo lo que tengo. ¿Alguna idea sobre seguir con este método o quizás incluso con un método diferente?

Gracias

UN

Answer 1

Como se mostró: $$\ln\left(\sqrt[n^2]{\prod_{k=1}^nk!}\right)=\frac{n^2}2\ln\left(\prod_{k=1}^nk!\right)=\frac1{n^2}\left(\sum_{k=1}^n(n+1-k)\ln(k/n) +\frac{n(n+1)}2\ln n\right)\\S=\sum_{k=1}^n\frac1n\left(1+\frac1n-\frac kn\right)\ln(k/n) +\frac{(1+1/n)}2\ln n$$ Ver si se puede usar como sugiere r9m, la relación: $$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=a}^b\frac1nf(k/n)=\int_{\lim_{n\to\infty}a/n}^{\lim_{n\to\infty}b/n}\quad f(x){\rm d}x$$ Al $n\to\infty$: $$S_{\infty}\sim\int_0^1\ln x{\rm d}x+0-\int_0^1x\ln x{\rm d}x+\frac12\ln n+0=\frac12\ln n-\frac34$$ Tenga en cuenta que $\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}n=0$ $\int(1-x)\ln x=\frac14 x (x-2 (x-2) \ln x-4)+\text{constant}$

Así: $$\beta\sim\frac{e^{-3/4}\sqrt n}{n^{\alpha}}$$ Por lo $\alpha=1/2$$\beta=e^{-3/4}$. Vea la pregunta relacionada aquí

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Interesante nota

Barnes de la función G "G" es: $$G(n+2)=\prod_{k=1}^n(k!)$$ y nuestro límite es: $$\lim_{n\to\infty}\frac{[G(n+2)]^{1/n^2}}{\sqrt n}=e^{-3/4}$$

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Nota

Wolfram De Verificación