¿Por qué $(A-I)^2=0$ implica todos los valores propios de $A$ son $1$ ?

Question

¿Por qué $(A-I)^2=0$ implica todos los valores propios de $A$ son $1$ ? Aquí $A$ es un $n \times n$ matriz.

Escribe el polinomio característico de $A$ que es $p(A)=(t-\lambda_1)(t-\lambda_2)\dots(t-\lambda_n)$ . $1$ es uno de sus valores propios, pero por qué todos $\lambda$ son $1$ ?

Answer 1

Supongamos que $x$ es un vector propio de $A$ con valor propio $\lambda$ . ¿Qué puede decir sobre $(A-I)^2x$ ?

Answer 2

El polinomio mínimo de $A$ divide cualquier polinomio que $A$ se satisface. $A$ satisface el polinomio $(x-1)^2$ . Por lo tanto, el polinomio mínimo de $A$ es $(x-1)$ o $(x-1)^2$ .

Hecho: Los valores propios de $A$ son exactamente las raíces del polinomio mínimo.

Así, $1$ es el único valor propio.

Answer 3

Supongamos que $\lambda$ es un valor propio de $A$ y que $m$ es un polinomio tal que $m(A) = 0$ . Entonces $(x-\lambda)$ es un factor de $m$ .

Para ver esto, observe que si $v \not = 0$ es un vector propio asociado a $\lambda$ entonces $0 = m(A)(v) = m(\lambda)v$ , lo que significa que $m(\lambda) = 0$ .