Resumen de mi respuesta. Me gusta el modelado de la cadena de Markov, pero echa de menos el aspecto "temporal". En el otro extremo, centrándose en el aspecto temporal (por ejemplo, el tiempo medio en $-1$ ) echa de menos el aspecto de "transición". Yo entraría en el siguiente modelado general (que con una suposición adecuada puede llevar al [proceso de Markov][1]). También hay mucha estadística "censurada" detrás de este problema (que es ciertamente un problema clásico de la fiabilidad del software ? ). La última ecuación de mi respuesta da el estimador de máxima probabilidad de la intensidad del voto (arriba con "+" y abajo con "-") para un estado de voto dado. Como podemos ver en la ecuación, es un intermedio del caso en que sólo se estima la probabilidad de transición y del caso en que sólo se mide el tiempo de permanencia en un estado dado. Espero que esto ayude.
Modelización general (para replantear la cuestión y los supuestos). Deje que $(VD_i)_{i \geq 1}$ y $(S_{i})_{i \geq 1}$ ser variables aleatorias que modelen respectivamente las fechas de votación y el signo de votación asociado (+1 para el voto ascendente, -1 para el voto descendente). El proceso de votación es simplemente
$$Y_{t}=Y^+_t-Y^-_t$$ donde
$$Y^+_t= \sum_ {i=0}^{ \infty }1_{VD_i \leq t,S_i=1} \; \text { and } \;Y^-_t= \sum_ {i=0}^{ \infty }1_{VD_i \leq t,S_i=-1}$$
La cantidad importante aquí es la intensidad de $ \epsilon $ -salta $$ \lambda ^{ \epsilon }_t= \lim_ {dt \rightarrow 0} \frac {1}{dt} P(Y^{ \epsilon }_{t+dt}-Y^{ \epsilon }_t=1| \mathcal {F}_t) $$ donde $ \epsilon $ puede ser $-$ o $+$ y $ \mathcal {F}_t$ es una buena filtración, en el caso de los géneros, sin otros conocimientos lo sería: $$ \mathcal {F}_t= \sigma \left (Y^+_t,Y^-_t,VD_1, \dots ,VD_{Y^+_t+Y^-_t},S_{1}, \dots ,S_{Y^+_t+Y^-_t} \right )$$ .
pero en la línea de tu pregunta, creo que implícitamente asumes que $$ P \left ( Y^{ \epsilon }_{t+dt}-Y^{ \epsilon }_t=1 | \mathcal {F}_t \right )= P \left (Y^{ \epsilon }_{t+dt}-Y^{ \epsilon }_t=1| Y_t \right ) $$ Esto significa que para $ \epsilon =+,-$ existe una secuencia determinista $( \mu ^{ \epsilon }_i)_{i \in \mathbb {Z}}$ de tal manera que $ \lambda ^{ \epsilon }_t= \mu ^{ \epsilon }_{Y_t}$ .
Dentro de este formalismo, su pregunta puede ser replanteada como: "es probable que $ \mu ^{+}_{-1} - \mu ^{+}_{0}>0$ " (o al menos es la diferencia mayor que un umbral determinado).
Bajo esta suposición, es fácil mostrar que $Y_t$ es un [proceso homogéneo de Markov][3] en $ \mathbb {Z}$ con el generador $Q$ dado por
$$ \forall i,j \in \mathbb {Z}\;\;\; Q_{i,i+1}= \mu ^{+}_{i}\;\; Q_{i,i-1}= \mu ^{-}_{i}\;\; Q_{ii}=1-( \mu ^{+}_{i}+ \mu ^{-}_{i}) \;\; Q_{ij}=0 \text { if } |i-j|>1$$
Responder a la pregunta (proponiendo un estimador de máxima probabilidad para el problema estadístico) A partir de esta reformulación, la solución del problema se hace estimando $( \mu ^{+}_i)$ y construyendo una prueba para aumentar sus valores. Arreglemos y olvidemos el $i$ sin pérdida de generalidad. La estimación de $ \mu ^+$ (y $ \mu ^-$ ) se puede hacer en respuesta a la observación de
$(T^{1}, \eta ^1), \dots ,(T^{p}, \eta ^p)$ donde $T^j$ son las longitudes de la $j^{th}$ de la $p$ los períodos pasados en el estado $i$ (es decir, sucesivas veces con $Y_t=i$ ) y $ \eta ^j$ es $+1$ si la pregunta fue votada, $-1$ si se votó a favor y $0$ si era el último estado de observación.
Si se olvida el caso con el último estado de observación, las parejas mencionadas son de una distribución que depende de $ \mu_i ^+$ y $ \mu_i ^-$ se distribuye como $( \min (Exp( \mu_i ^+),Exp( \mu_i ^-)), \eta )$ (donde Exp es una varilla aleatoria de una distribución exponencial y $ \eta $ es + o -1 dependiendo de quién se dé cuenta del máximo). Entonces, puedes usar el siguiente lema simple (la prueba es sencilla):
Lemma Si $X_+ \leadsto Exp( \mu_ +)$ y $X_{-} \leadsto Exp( \mu_ {-})$ entonces, $T= \min (X_+,X_-) \leadsto Exp( \mu_ ++ \mu_ -)$ y $P(X_+1<X_-)= \frac { \mu_ +}{ \mu_ ++ \mu_ -}$ .
Esto implica que la densidad $f(t, \epsilon )$ de $(T, \eta )$ está dada por: $$ f(t, \epsilon )=g_{ \mu_ ++ \mu_ -} \left ( \frac {1( \epsilon =+1)* \mu_ ++1( \epsilon =-1)* \mu_ -}{ \mu_ ++ \mu_ -} \right )$$ donde $g_a$ para $a>0$ es la función de densidad de una variable aleatoria exponencial con el parámetro $a$ . A partir de esta expresión, es fácil derivar el estimador de máxima probabilidad de $ \mu_ +$ y $ \mu_ -$ :
$$( \hat { \mu }_+, \hat { \mu }_-)=argmin \ln ( \mu_ -+ \mu_ +) \left ( ( \mu_ -+ \mu_ +) \sum_ {i=1}^p T^i+p \right )- p_- \ln\left ( \mu_ - \right ) -p_+ \ln \left ( \mu_ + \right )$$ donde $p_-=|{i: \delta_i =-1}|$ y $p_+=|{i: \delta_i =+1}|$ .
Comentarios sobre enfoques más avanzados
Si quiere tomar en cuenta los casos cuando $i$ es el último estado observado (ciertamente más inteligente porque cuando pasas por $-1$ ...a menudo es tu última puntuación...) tienes que modificar un poco el razonamiento. La censura correspondiente es relativamente clásica...
Otro posible enfoque puede incluir la posibilidad de
- Teniendo una intensidad que disminuye con el tiempo
- Teniendo una intensidad que disminuye con el tiempo transcurrido desde la última votación (prefiero esta. En este caso hay una forma clásica de modelar cómo la densidad disminuye...
- Puede que quieras asumir que $ \mu_i ^+$ es una función suave de $i$
- .... puedes proponer otras ideas !
