Supongamos que $f:X\longrightarrow Y$ es un morfismo entre dos $K$-esquemas. ¿Si $U\subseteq X$ es un conjunto abierto afín, entonces podemos concluir que $f(U)$ figura es un subconjunto abierto afine de $Y$?
Gracias de antemano.
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Jérémy Blanc
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Otro ejemplo simple, que también trabaja con variedades. Basta a $X=\mathbb{P}^1\times \mathbb{P}^1$, $Y=\mathbb{P}^1$ y $f\colon X\rightarrow Y$ a ser la proyección en el primer factor.
De hecho, que $C$ ser cualquier curva cerrada en $X$. $C$ Es amplio, $U=\mathbb{P}^1\times \mathbb{P}^1\setminus C$, es una superficie lisa afín. Sin embargo, $f(U)=\mathbb{P}^1$ no figura en ningún subconjunto abierto afine.
YequalsX
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Aquí hay un ejemplo con curvas. Que $C$ ser la curva elíptica (proyectiva) cortada por (la homogeneización de) $y^2 = x^3 -x$.
El mapa $f:(x,y) \mapsto x$ da un grado dos de morfismo $C \to \mathbb P^1$. Hay cuatro puntos de rama: $(0,0), (1,0), (-1,0)$ y el punto en el infinito. Que $P \in C$ ser un punto de no poder. Entonces $U := C \setminus {P}$ afín, pero $f: U \to \mathbb P^1$ permanece sobreyectiva.
hunter
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Aquí está un ejemplo con las variedades más algebraicamente cerrado campos.
El complemento de $U$ $y = x^2$ $\mathbb{A}^2$ es afín-prueba: es la proyección del conjunto de $(x, y, z) \in \mathbb{A}^3$ tal que $(y - x^2)z = 1$.
Pero este complemento surjects en $\mathbb{P}^1$ menor a la habitual mapa de $\mathbb{A}^2 \setminus \{0\} \to \mathbb{P}^1$ (esto sólo dice que la parábola no contiene ninguna línea que pasa por el origen). Tenga en cuenta que realmente tenemos que hacer la estupidez con la eliminación de una cónica para obtener un ejemplo, la eliminación de una línea, ya no surject a $\mathbb{P}^1$ y si quitamos nada no somos afines.
