Relación entre dos secuencias convergentes a cero

Question

Si ${x{n}}$ es una secuencia de números verdaderos positivos, $0<x a="" ahora="" cero="" converge="" cualquier="" de="" encontrar="" es:="" for="" justo="" mi="" nonzero="" podemos="" pregunta="" que="" sabe="" se="" subsequence="" tal="" un="" y="">(Por ejemplo, si $x{n}=\frac{1}{n}$, entonces podemos elegir $x'{n}:=x{2n}=\frac{1}{2n}$ y consigue $\lim{n\to\infty}\frac{x'{n}}{x{n}}=1/2$).

Edición: Arriba dije "para distinto a cero $x$", y no especifica un valor de $x$, lo único que quiero es sólo un límite distinto de cero.

</x_>

Answer 1

Supongo que la trivial respuesta a tu pregunta es "sí". Después de todo, uno siempre puede tomar $n' = n$ y $\lim{n \rightarrow \infty} x{n'}/x_n = 1$, ya que obviamente cada término es uno.

Una forma posible de hacer menos trivial que el problema es exigir que $n' > n$ % todos $n$. Un contraejemplo a algo como esto se puede dar en $xn = 1/2^{2^n}$. Tenga en cuenta que $x{n+1}/x_n = 2^{2^n - 2^{n+1}} = 1/2^{2^n}$, dicha relación, debe tender a 0.

Answer 2

Interesante pregunta, lo que puede ser difícil si nos ponen más condiciones en $(x_n)$. Podríamos hacer trampa y utilizar un monótonamente decreciente secuencia $(x_n)$, e $x=3$. Pero nosotros en lugar de utilizar una $x \lt 1$.

Deje que nuestro secuencia $(x_n)$ ser dado por $x_n=\frac{1}{n}$ al $n$ no es una potencia de $2$, e $x_n=\frac{1}{2^n}$ al $n$ es una potencia de $2$. Por lo $x_n$ disminuye más lentamente que la mayoría de las veces, pero de vez en cuando da un dramático dip.

Deje $x=\frac{1}{3}$, y supongamos que tenemos una larga $(x_n')$ tal que $$\lim_{n\to\infty}\frac{x_n'}{x_n}=\frac{1}{3}.$$ Deje $m=2^k$ ser una gran potencia de $2$.

Si $m$ es lo suficientemente grande, $\frac{x_{n+1}'}{x_{n+1}}\approx\frac{1}{3}$, por lo que, de manera informal, $x_n'\approx \frac{1}{3(n+1)}$. Pero entonces no podemos tener a $\frac{x_n'}{x_n}$ cualquier lugar cerca de las $\frac{1}{3}$.

Answer 3

Una cosa parece segura: si su secuencia converge monótonamente a cero (desde arriba, ya que se nos ha dado $\,x_n>0\,$), a continuación, cualquier subsequence se unía elementwise desde abajo: $\,\,x'_n\leq x_n\,,\,\forall n\,$, y, a continuación, cualquier posible límite del cociente de ambos tendrá que ser en $\,[0,1]\,$ , así que si tenemos $\,1<x\in\mathbb{R}\,$ vamos a tener que empezar con seq. que converge a cero no-monótona, y esto ya se descarta un montón de bastante simple y ejemplos básicos, y también nos muestra que, o bien hemos puesto algunas condiciones en la secuencia de $\,\{x_n\}\,$ o de lo contrario la respuesta a tu pregunta es : no, no real $\,x\,$ puede ser recibido como un límite de cociente para cualquier secuencia.