Sobre el valor de $e^{ix}$ en $\pm \infty$

Question

Consideremos la integral $$ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{ix} \, dx.$$

Integrando, tenemos $$\left[-ie^{ix}\vphantom{\frac11}\right]_{-\infty}^{+\infty},$$

y tenemos que evaluar los límites de $e^{ix}$ en ${-\infty}$ y ${+\infty}$ que, según tengo entendido, hacen no ya que la función es oscilatoria.

Pero si ahora evaluamos la integral usando integración de contorno: $$ \oint_{-\infty}^{+\infty} e^{iz} \, dz.$$ Cerrándose en el semiplano superior, de modo que $e^{iz} = e^{ix}e^{-y} \rightarrow 0 $ como $y\rightarrow 0$ la contribución del semicírculo al contorno es de $0$ y obtenemos que la integral es $0$ .

¿Cuál es la respuesta correcta y a qué se debe esta incoherencia?

Answer 1

La respuesta de Matt Samuel parece poco clara por lo que omite. Siguiendo con sus comentarios: $$ \int_{-R}^R e^{ix}\,dx = \left[\frac{e^{ix}}{i}\right]_{-R}^R = \frac{e^{iR}-e^{-iR}}{i} = 2\sin R $$ y que no se acerca a un límite como $R\to\infty$ por lo que el valor de la integral impropia no existe.

Como la función es una función entera, su integral a lo largo de una curva cerrada es $0$ . En consecuencia, la integral de $x\mapsto e^{ix}$ a lo largo del semicírculo centrado en $0$ y de radio $R$ en el semiplano superior de $+R$ a $-R$ debe ser $-2\sin R$ y su límite como $R\to\infty$ no existe.

Se argumenta que para $x,y$ real, $e^{i(x+iy)}\to 0$ como $y\to+\infty$ (lo cual es cierto) y que por tanto (y aquí está el error) la integral a lo largo del semicírculo debe ir a $0$ .

La pregunta es entonces: ¿Qué hay de malo en ese argumento? La respuesta de Matt Samuel en su forma actual no aborda esta cuestión.

Dos cosas:

• A medida que el valor de la función a lo largo de las partes superiores de la curva se hace más pequeño, la curva se alarga. A medida que los valores van a $0$ se multiplican por una longitud que va a $\infty$ y cuando una cantidad pasa a $0$ mientras otro va a $\infty$ entonces su producto puede aproximarse a un número positivo finito: por ejemplo $x\cdot\dfrac 1 x$ lo hace como $x\to+\infty$ .

• Los valores de la función en las partes de la curva próximas al eje real. no ir a $0$ a medida que crece la curva.

Si, por ejemplo, pudiéramos decir que los valores de una función no negativa $f_n$ son inferiores a $1/n$ en el intervalo $[0,1]$ (cuyo intervalo no se alarga a medida que $n\to\infty$ entonces podemos decir que $\displaystyle \int_0^1 f_n(x)\,dx\to0$ como $n\to\infty$ . Pero $$ \int_0^n \frac 1 n \,dx \text{ does not approach $ 0 $ as } n\to\infty $$ a pesar de que $1/n\to0$ como $n\to\infty$ . Y $$ \int_0^1 \frac 1 {nx}\,dx\text{ does not approach $ 0 $ as }n\to\infty $$ a pesar de que $1/(nx)\to0$ como $n\to\infty$ para cada valor de $x$ . En este segundo ejemplo, el problema es que la función siempre será grande cuando $x$ está cerca $0$ .

Answer 2

La integral sobre la parte superior del semicírculo anula exactamente la integral sobre el eje real, por lo que no tiene más límite que la integral original. De hecho la integral sobre la parte superior para un semicírculo de radio $r$ evalúa exactamente $-2\sin r$ anulando el $2\sin r$ obtenida integrando sobre el eje real.