Encontrar el polinomio de Alexander de siguiente cierre trenza

Question

¿Cómo encontrar el polinomio de Alexander de la clausura de la siguiente trenza,
$(\sigma_1^{-2}\sigma_2^{-1}\sigma_3^{-1}\sigma_4^{-1}\sigma_5^{-1}...\sigma_{A-1}^{-1})^B$ donde $A$ $B$ son enteros positivos?
He encontrado la forma general de la Seifert matriz de enlace, y luego trató de utilizar la fórmula
$$\Delta(t) = \det (V-tV^T) $$ donde $V$ es el Seifert matriz y $\Delta(t)$ es el polinomio de Alexander.

Por tanto, he intentado usar MATLAB para calcular el Alexander polinomios de los nudos para $A$ $B$ ejecución de$1$$10$. A partir de los resultados supuse que la forma general de la polinomio de Alexander, pero yo no terminan en una rigurosa prueba.

No estoy muy familiarizado con el cálculo de Alexander polinomios utilizando otras técnicas, tales como el nudo de grupo y Jacobina, así que no estoy seguro de si esas rutas daría una buena manera de atacar el problema.

PS. Me hizo calcular el polinomio de Jones con bastante rapidez, pero no veo ningún tipo de ayuda de que.

Answer 1

La trenza de mencionar que es un elemento de $B_A$ ¿supongo? Realmente no importa si usted agregar cadenas después de este como tomar la trenza de cierre se acaba de agregar una nueva desvincular por cada nueva cadena.

En cualquier caso, parece que usted estaría interesado en el Burau representación de la trenza de grupo. El Alexander polinomio de una trenza de cierre de $\hat{\beta}$ está dado por el determinante de la matriz $I-\beta_*$ donde $\beta_*$ es la reducción de la Barau representación de la trenza $\beta$. Hay una gran cantidad de literatura sobre el Barau representación de volver a los años 60 y 70. Me gustaría sugerir fuertemente recoger Birman del libro¹ para una buena introducción a la teoría detrás de las representaciones de la trenza de los grupos y la forma de calcular este tipo de mapas.

¹J. S. Birman Trenzas, Enlaces y la Asignación de los Grupos de la Clase, Anales de Estudios Matemáticos 82, Princeton University Press, 1975.