¿Cómo convertimos una función generadora que cuenta en una función generadora de probabilidades?

Question

Estoy aprendiendo sobre el coeficiente binomial y el conteo. Definimos: $$ (1+x)^m = \sum^m_{n=0} \begin{pmatrix} m \\ n \end{pmatrix} x^n $$ los coeficientes de las potencias de $x^n$ representan el número de formas de elegir $n$ de un conjunto de $m$ . ¿Hay alguna manera de convertir esto en una distribución de probabilidad dividiendo cada coeficiente por $$ \sum^m_{n=0} \begin{pmatrix} m \\ n \end{pmatrix}. $$

Ejemplo

Tenemos un conjunto de tres objetos, $\{a, b , c\}$ podemos dibujar 1 objeto de tres maneras $(a + b + c)$ dos objetos de tres maneras $(ab + ac + bc)$ y tres objetos en un sentido $(abc)$ . Entonces,

$$ (1+x)^3 = 1x^0 + 3x^1 + 3x^2 + 1x^3 $$ Si dividimos cada coeficiente por la suma de los coeficientes (en este caso 8) entonces representan probabilidades(?). ¿Podemos decir entonces que $(1+x)^n$ es el generador de una función de distribución $$ p_n = \frac{1}{\sum^m_{n=0} \begin{pmatrix}m \\ n \end{pmatrix}} \begin{pmatrix} m \\ n \end{pmatrix} $$ De tal manera que

$$ (1+x)^n = \sum_n p_n x^n $$

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ p_n =\binom{m}{n}/\sum_{n=0}^{m}\binom{m}{n}=\binom{m}{n}/2^{m}. $$ Así que $$ \sum_{n=0}^{m} p_n x^n=\frac{(1+x)^m}{2^{m}}=\left(\frac{1}{2}+\frac{x}{2}\right)^m=\sum_{n=0}^m\binom{m}{n}\left(\frac{1}{2}\right)^n \left(\frac{1}{2}\right)^{m-n}x^n.\tag{1} $$ Puedes pensar en $p_n$ como la probabilidad de obtener $n$ cara cuando lanzamos una moneda justa $m$ tiempos.

Más concretamente, si $X\sim\text{Binom}(m,1/2)$ es decir $X$ es una variable aleatoria que sigue una distribución binomial con $m$ ensayos y probabilidad de éxito $1/2$ entonces $p_n=P(X=n)$ .

Decimos que la serie en (1) es la función generadora de probabilidad de $X$ ya que codifica las probabilidades de $X$ .

Answer 2

Lo que observas va por buen camino, de hecho hace que los polinomios sean excepcionalmente útiles para los problemas combinatorios que, de otro modo, podrían ser extremadamente engorrosos.

Supongamos que vamos a realizar $n$ experimentos independientes. Para cada $k$ tenemos ese evento $A$ ocurre con probabilidad $p_k$ y no se produce con probabilidad $1-p_k := q_k$ . Entonces, considere el producto $$(p_1 x + q_1 ) ( p_2 x + q_2 ) \dots (p_n x + q_n )$$ El coeficiente de $x^m$ en lo anterior es precisamente la probabilidad de que $A$ ocurre exactamente $m$ veces en el $n$ experimentos.

En tu pregunta, estarías computando el caso en que el $p_k = q_k = 1/2$ .