¿Cuándo una unión infinita de conjuntos contables es incontable?

Question

Si tengo $\kappa$ conjuntos contables, cuando su unión no es contable sólo si $\kappa$ es incontable? ¿Usando AC se hacen diferencias?

Answer 1

Estoy asumiendo a través del correo que los conjuntos $A_i$ son disjuntos entre sí. En caso contrario, es trivial generar una familia de $2^{\aleph_0}$ conjuntos cuya unión es contablemente infinita.

Si asumimos el axioma de elección entonces $|\bigcup_{i\in I} A_i|=|I|\cdot\sup\{|A_i|\mid i\in I\}$ . Si asumimos que $|A_i|=\aleph_0$ por cada $i\in I$ entonces, efectivamente, esto significa que la unión es incontable si y sólo si $I$ es incontable.

Al no asumir el axioma de elección se pueden obtener muchos tipos de comportamientos extraños.

1. Es coherente que la unión contable de pares es incontable (en el sentido de que no tiene ningún subconjunto contable, pero también es posible que lo tenga).

2. Es coherente que la unión contable de conjuntos finitos sea contable, pero existe un conjunto contable de conjuntos contables cuya unión es incontable.

3. Es coherente que $\sf DC_\kappa$ se mantiene, para algún infinito $\kappa$ que nos asegura que las cosas se comportan normalmente hasta las uniones de $\kappa$ conjuntos. Pero al mismo tiempo hay una familia de $\kappa^+$ pares cuya unión es incontable (y en cambio podemos convertir esos pares en conjuntos contablemente infinitos en cetra).

4. Incluso es coherente que la unión contable de conjuntos contables tenga cardinalidad $\aleph_1$ que, a diferencia de los ejemplos anteriores, es un cardinal bien ordenado.

   Al mismo tiempo, hay que mencionar que es consistente tener la unión contable de conjuntos contables con la cardinalidad de $2^{\aleph_0}$ pero en ese caso $\Bbb R$ no puede estar bien ordenado.

Sin embargo una cosa es demostrable sin el axioma de elección:

Supongamos que la unión de $A_i$ es contable, entonces:

1. $I$ es contable (o finito), y
2. $A_i$ es contable (o finito) para cada $i\in I$ .

Answer 2

Acabo de explicarle a mi hija de 12 años que se pueden contar los cuadrados de una cuadrícula infinita, por ejemplo, contando en espiral. (Tenía un proyecto sobre la comprensión de las matemáticas de un famoso matemático, así que elegimos el argumento de la diagonal de Cantor).

Así que puedes contar los cuadrados de un cuarto de cuadrícula, que es un subconjunto de la cuadrícula infinita. Puedes contar a lo largo de las diagonales, por ejemplo, o a lo largo de la parte de la espiral que sobrevive. No importa lo que pongas en los cuadrados -si cabe en la cuadrícula puedes contarlo, así que puedes poner tu primera secuencia en la primera fila, la segunda secuencia en la segunda fila- porque las secuencias son contables, cada secuencia cabe en una fila. El número de secuencias es contable, por lo que hay suficientes filas para todas ellas.

La única complicación que surge es si hay elementos repetidos que se cuentan más de una vez, pero esos se pueden negociar...