Resulta que hace muy poco que he empezado a indagar en las formas automórficas. Yo recomendaría contra el libro de Bump para un primer vistazo a las formas automórficas. Adoro el libro en general, pero si vas a echar un primer vistazo a ese nivel (que es muy avanzado), recomiendo el libro de Goldfeld Formas automórficas y funciones L para GL(n,R) . A pesar del título, tiene una introducción relativamente fácil de leer sobre las formas automórficas en $SL_2(\mathbb{Z})$ que son los ejemplos más sencillos.
Lo que supongo que esto dice realmente es que las formas modulares son una especie de punto de partida, y la analogía a tener en cuenta. Las formas automórficas están profundamente ligadas a los grupos de mentiras como $GL_n(\mathbb{R})$ Así que es probable que no te alejes demasiado de ellos. Si tienes acceso a una biblioteca, te recomiendo Teoría analítica de los números de Iwaniec y Kowalski (tiene un precio elevado, por lo que no es para comprarlo de forma casual). Los capítulos 5 y 14 ofrecen buenas introducciones a las formas automórficas clásicas (aunque las formas modulares, de nuevo).
Ahora vamos a intentar responder un poco a tu pregunta: ¿qué es una forma automórfica? En cierto sentido, son la generalización de las funciones periódicas $f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ con $f(x+1) = f(x)$ . Pero podemos decir un poco más.
Así que vamos a entrar de lleno. Esta es una imagen incompleta, y se presta a una explicación de tipo modular. Pero digamos que $G$ es un grupo algebraico sobre $\mathbb{R}$ , más comúnmente $GL_n(\mathbb{R})$ o algo parecido. Deja que $K$ sea un subgrupo compacto máximo de $G$ et $\Gamma$ un subgrupo discreto de $G$ . Entonces una función $f \in C^{\infty} (G)$ es un $K$ -forma automórfica finita para $\Gamma$ si
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La condición automórfica : $f(\gamma g) = f(g) \quad \forall \gamma \in \Gamma$
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K-finiteness : El espacio vectorial $\langle f_k(g) := f(gk)| k \in K\rangle$ es de dimensión finita en $C_\infty(G)$
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Holomorfo en las cúspides : Algo "análogo" a la afirmación de que $f$ es holomorfa en el espacio cociente $G/K$ y puede interpretarse como una cierta condición diferencial que garantiza un comportamiento suficientemente bueno en la mayoría de los lugares ( Aquí difumino más los detalles )
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Crecimiento moderado : Algo "equivalente" a la afirmación de que $f$ es de "crecimiento moderado" - realmente que $f$ es holomorfo en las cúspides (si esto tiene algún significado). En última instancia, esto puede interpretarse como que $f$ no explota demasiado rápido cerca de puntos especiales específicos
De alguna manera, cualquier forma modular clásica se corresponde con una forma automórfica clásica. Si tienes la oportunidad de leer la Tesis de Tate, podrías considerarla una exposición sobre las formas automórficas en $GL_1$ . Aparte de eso, yo recomendaría empezar con formas modulares.
