Prueba constructiva de un problema del libro análisis por Terence Tao

Question

Aquí es un problema de el libro de Análisis por Terence Tao:

(Vol 1, Ejercicio 5.5.2)

Deje $E$ ser un no-vacío es subconjunto de a $R$, vamos a $n \geq 1$ ser un número entero, y deje $L < K$ ser números enteros. Supongamos que $K/n$ es un límite superior para $E$, pero que $L/n$ no es una cota superior para $E$. Sin usar el teorema de EoLUB (indicado a continuación), muestran que existe un entero $L < m \leq K$ tal que $m/n$ es un límite superior para el Correo, pero que $(m-1)/n$ no es una cota superior para E. (Sugerencia: demostrar por contradicción, y el uso de la inducción. También puede ayudar a dibujar una imagen de la situación).

Teorema de EoLUB: Vamos a $E$ ser un no-vacío es subconjunto de a $R$. Si $E$ tiene un límite superior, entonces debe haber exactamente un mínimo de límite superior.

Alguna idea de cómo solucionar esto?

Por otra parte, es posible dar un constructiva prueba de ello, otros que uno utilizando contradicción? Porque creo que es este ejercicio que ilustra la existencia de por lo menos el límite superior, voy a ser muy feliz de ver constructiva de la prueba.

Gracias.

Answer 1

Que $A \subseteq \mathbb Z$ definido por $$ A = { m \in \mathbb Z \cap [L, K] \mid m/n \text{ is an upper bound of $E $}} $ $ $A$ es un no-vacío ($K \in A$ por supuesto) delimitado por debajo ($L$ es un límite inferior) subconjunto de $\mathbb Z$. Como tal, tiene un elemento mínimo ($A -L\subset \mathbb N$ es no vacío y $\mathbb N$ es bien ordenado). Que $m$ ser este elemento menos. $m/n$ Es un límite superior de $E$, pero no es $(m-1)/n$, ser el elemento menos de $m$ $A$. $L/n$ No es un límite superior, tenemos $L