La definición de aniquilador no está clara

Question

Tengo una pregunta sobre la siguiente definición de un aniquilador de un espacio vectorial de dimensión finita. Creo que entiendo las dos definiciones, pero no entiendo bien el vínculo que implica la última frase.

Definición:

Si $A \subset V$ el aniquilador de $A, A^{°}$ es el conjunto de todos los $f$ en $V^*$ tal que $f(a) = 0$ para todos $a$ en $A$ . Del mismo modo, si $A \subset V^*$ entonces

$$A^{°} = \{a\in V\colon\ f(a) = 0 \text{ for all } f\in A \}.$$

Si vemos $V$ como $(V^{*})^{*}$ La segunda definición está incluida en la primera.

Así que ahora mis preguntas son por qué podemos ver $V$ como $(V^{*})^{*}$ Sé que son equivalentes por el isomorfismo, pero esto no significa que sean iguales, ¿verdad? ¿Y cómo es que la primera definición incluye a la segunda?

Answer 1

No son iguales, sino algebraicamente isomorfas, porque un espacio vectorial de dimensión finita es reflexivo y la segunda definición está incluida en la primera si se identifica cada $a\in V$ con su imagen $Ja$ bajo la inyección canónica (en este caso isomorfismo) $J:V\rightarrow (V^*)^*,a\mapsto(Ja:V^*\rightarrow\mathbb{C},f\mapsto f(a))$ porque la primera definición se lee entonces para $V^*$ :

$A^0=\{Ja\in V^{**}:Ja(f)=f(a)=0\}$