Probar la relación de Legendres para curvas elípticas

Question

El legendre de la relación puede ser enunciada de la siguiente manera

$$ K(k) E(k^*)+ E(k) K(k^*) - K(k) K(k^*) = \frac{\pi}{2} $$ donde $k^* = \sqrt{1 - k^2}$ es el servicio gratuito de módulo, y la $E$ $K$ respectivamente integral elíptica completa de primera y segunda clase

$$ K(k) = \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}\ ,\quad E(k) = \int_0^{\pi/2}\sqrt {1-k^2 \sin^2\theta}\ \mathrm{d}\theta\,. $$

Ahora lo siento por no intentar resolver este problema por mí mismo, pero he intentado tanto a mí mismo y encontrar fuentes en línea. Por desgracia parece que esta relación ha sido un poco olvidado. Sin embargo encontré un artículo que afirman que la relación, pero no tengo acceso para comprobar su validez.

Alguien puede proporcionar fuentes para una prueba de esta relación, o el contorno de una prueba? Esperemos que no sea el uso de funciones hipergeométricas, pero una prueba más en el espíritu de Legendre. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Aquí es un esquema de una prueba:

El primer uso de la integral definiciones para mostrar que $$k \frac{d E(k)}{dk} = E(k)-K(k)$$

y $$ k(k^{*})^{2} \frac{d K(k)}{d k} = E(k) - (k^{*})^{2} K(k) .$$

El próximo uso esas identidades para mostrar que $$ \frac{d}{dk} \Big( K(k) E(k^*)+ E(k) K(k^*) - K(k) K(k^*) \Big) =0 .$$

A continuación, integrar y tome el límite de $k$ $0$ a ambos lados para mostrar que la constante de integración es $\displaystyle \frac{\pi}{2}$.

Se hizo necesario la siguiente serie de expansiones:

$$E(k) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi x^{2}}{8} + \mathcal{O}(k^{4})$$ $$K(k) = \frac{\pi}{2}+\frac{\pi x^{2}}{8} + \mathcal{O}(k^{4}) $$ $$E(k^{*}) = 1+ \mathcal{O}(k^{2}) $$ $$ K(k^{*}) = 2 \ln 2 -\ln k + \mathcal{O}(k^2)$$

EDITAR:

La segunda identidad no es obvia. Ver la edición de la siguiente respuesta:

Cómo demostrar a $(x^2-1) \frac{d}{dx}(x \frac{dE(x)}{dx})=xE(x)$

SEGUNDA EDICIÓN:

Voy a rellenar los huecos un poco.

Si usted diferenciar $E(k^{*})$ o $K(k^{*})$ con respecto al $k^{*}$, obtendrá fórmulas similares a las de arriba ya que toda su realidad está haciendo es volver a etiquetar.

A continuación, utilizando la regla de la cadena, $$ \begin{align} \frac{d E(k^{*})}{dk} &= \frac{d E(k^{*})}{dk^{*}} \frac{d k^{*}}{dk} = \frac{E(k^{*})-K(k^{*})}{k^{*}} \frac{-k}{\sqrt{1-k^{2}}} \\ &= \frac{E(k^{*})-K(k^{*})}{k^{*}} \frac{-k}{k^{*}} = -\frac{k}{(k^{*})^{2}} \Big( E(k^{*})-K(k^{*}) \Big) . \end{align}$$

Y

$$ \begin{align} \frac{d K(k^{*})}{dk} &= \frac{d K(k^{*})}{dk^{*}} \frac{d k^{*}}{dk} = \frac{E(k^{*}) - k^{2} K(k^{*})}{k^{*} k^{2}} \frac{-k}{k^{*}} \\ &= - \frac{1}{k(k^{*})^{2}} \left( E(k^{*}) - k^{2} K(k^{*}) \right). \end{align}$$

Así

$$ \begin{align} &\frac{d}{dk} \Big( K(k) E(k^*)+ E(k) K(k^*) - K(k) K(k^*) \Big) \\ &= \frac{E(k) - (k^{*})^{2}K(k)}{k (k^{*})^{2}}E(k^{*}) - K(k) \frac{k}{(k^{*})^{2}} \Big( E(k^{*})-K(k^{*}) \Big) \\ &+ \frac{E(k)-K(k)}{k} K(k^{*}) - E(k) \frac{1}{k(k^{*})^{2}} \left( E(k^{*}) - k^{2} K(k^{*}) \right) \\ &- \frac{E(k) - (k^{*})^{2}K(k)}{k (k^{*})^{2}} K(k^{*}) + K(k) \frac{1}{k(k^{*})^{2}} \left( E(k^{*})-k^{2}K(k^{*}) \right) \\ &= E(k) E(k^{*}) \left( \frac{1}{k (k^{*})^{2}} - \frac{1}{k (k^{*})^{2}} \right) + K(k) E(k^{*}) \left(- \frac{1}{k} - \frac{k}{(k^{*})^{2}} + \frac{1}{k(k^{*})^{2}}\right) \\ &+ K(k) K(k^{*}) \left( \frac{k}{(k^{*})^{2}} - \frac{1}{k} + \frac{1}{k} - \frac{k}{(k^{*})^{2}}\right) + E(k) K(k^{*}) \left( \frac{1}{k} + \frac{k}{(k^{*})^{2}} - \frac{1}{k (k^{*})^{2}} \right) \\ &= K(k) E(k^{*}) \left(- \frac{1}{k} - \frac{k}{(k^{*})^{2}} + \frac{1}{k(k^{*})^{2}}\right) - E(k) K(k^{*}) \left( -\frac{1}{k} - \frac{k}{(k^{*})^{2}} + \frac{1}{k (k^{*})^{2}} \right) . \end{align}$$

Pero

$$ - \frac{1}{k} - \frac{k}{(k^{*})^{2}} + \frac{1}{k(k^{*})^{2}} = \frac{-(k^{*})^{2} - k^{2} +1}{k(k^{*})^{2}} = \frac{-(1-k^{2})-k^{2}+1}{k(k^{*})^{2}} = 0 .$$

Por lo tanto,

$$ \frac{d}{dk} \Big( K(k) E(k^*)+ E(k) K(k^*) - K(k) K(k^*) \Big) =0. $$

$ $

Derivados de la expansión de $E(k^{*})$ $K(k^{*})$ $k=0$ es realmente muy difícil.

Pero aviso que $E(k^{*}) =1 $ al $k=0$.

Y al $k$ es pequeño y positivo, $ 0 < \displaystyle K(k^{*}) \le \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\sqrt{k^{2}}} \ d \theta = \frac{\pi}{2k}$.

Entonces

$$ \begin{align} \lim_{k \to 0^{+}} \Big( K(k) E(k^*)+ E(k) K(k^*) - K(k) K(k^*) \Big) &= \frac{\pi}{2} (1) + \lim_{k \to 0^{+}} \Big[ \Big( E(k) -K(k) \Big) K(k^{*}) \Big] \\ &= \frac{\pi}{2} + \lim_{k \to 0^{+}} \mathcal{O}(k^{2}) K(k^{*}) \\ &= \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2}. \end{align}$$