Estoy tratando de verificar algunos cálculos en un papel que me estoy leyendo y me siento un poco perdido. En particular, no he sido capaz de calcular la curvatura de una conexión que actúa sobre una línea de paquete. He aquí un ejemplo específico (el modelo de la monopolo de Dirac):
Considere la posibilidad de coordenadas esféricas relativa a la Euclidiana coordenadas por $$(t,x,y) = (R\cos \theta, R\cos \psi \sin \theta, R \sin \psi \sin \theta)$$ Take the Hermitian line bundle $L_k$ over $\mathbb{R}^3$ defined by the transition function $g_{\theta 0} = e^{ik\psi}$ on the complement of the $t$-axis from $\theta \neq 0$ to $\theta \neq \pi$. Consider the connection $\bigtriangledown$ on $L_k$ defined by connection matrices $$A_0 = (ik/2)(1+\cos \theta) d\psi$$ $$A_\pi = (ik/2)(-1+\cos \theta)d\psi$$ where the first is defined on $\theta \neq 0$, the second on $\theta \neq \pi$. Let $\phi = ik/2R$. Then, $$\bigtriangledown \phi = d\phi = -(ik/2R^2) dR = -\star((ik/2)d(\cos \theta d \psi)) = \star F_{\bigtriangledown}$$
Es la última igualdad que me preocupa. ¿Cómo calcular la conexión a partir de las matrices? También he sólo calculadas muy fácil ejemplos de curvatura, así que estoy perdido en la obtención de $F_\bigtriangledown$. Un detallado cálculo/explicación sería útil. Gracias.
