Cálculo de curvatura de una conexión (monopolo de Dirac)

Question

Estoy tratando de verificar algunos cálculos en un papel que me estoy leyendo y me siento un poco perdido. En particular, no he sido capaz de calcular la curvatura de una conexión que actúa sobre una línea de paquete. He aquí un ejemplo específico (el modelo de la monopolo de Dirac):

Considere la posibilidad de coordenadas esféricas relativa a la Euclidiana coordenadas por $$(t,x,y) = (R\cos \theta, R\cos \psi \sin \theta, R \sin \psi \sin \theta)$$ Take the Hermitian line bundle $L_k$ over $\mathbb{R}^3$ defined by the transition function $g_{\theta 0} = e^{ik\psi}$ on the complement of the $t$-axis from $\theta \neq 0$ to $\theta \neq \pi$. Consider the connection $\bigtriangledown$ on $L_k$ defined by connection matrices $$A_0 = (ik/2)(1+\cos \theta) d\psi$$ $$A_\pi = (ik/2)(-1+\cos \theta)d\psi$$ where the first is defined on $\theta \neq 0$, the second on $\theta \neq \pi$. Let $\phi = ik/2R$. Then, $$\bigtriangledown \phi = d\phi = -(ik/2R^2) dR = -\star((ik/2)d(\cos \theta d \psi)) = \star F_{\bigtriangledown}$$

Es la última igualdad que me preocupa. ¿Cómo calcular la conexión a partir de las matrices? También he sólo calculadas muy fácil ejemplos de curvatura, así que estoy perdido en la obtención de $F_\bigtriangledown$. Un detallado cálculo/explicación sería útil. Gracias.

Answer 1

Localmente la curvatura de la conexión es a $dA$, como en este caso que tenemos un Grupo abeliano como una fibra ($S^1$) si no que tienes que agregar un término como $A \wedge A$. En este caso entonces la curvatura se da en $ik/2 \sin \theta d\theta d\psi$. De esto está claro, que espero, la última igualdad.