¿Es la función "signomial"?

Question

Función $f:(0, \infty)\longrightarrow \mathbb{R}$ se llama $\textbf{signomial}$, si $$ f (x) = a_0x ^ {r_0} + a_1x ^ {r_1} + \ldots + a_kx ^ {r_k}, $$ en $k \in \mathbb{N}^*:={0,1,2, \ldots}$% y $a_i, r_i \in \mathbb{R}$, $a_i\neq 0$, $r_0<r_1 con="" es="" real="" una="" variable="" y="">0$.</r_1>

Mi pregunta es simple en la primera glamce, pero no puedo conseguirlo.

Pregunta: Si la función $\displaystyle{\sqrt p \int_0^{\infty}\left(\frac{\sin t}{t}\right)^p}dt$, $t>0, p\ge 2$ ¿signomial?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Esto es un no rigurosas derivación de una expansión de la función inversa poderes de $p$. Le pregunté a una pregunta aquí acerca de una rigurosa justificación de la misma. Resulta que a) la expansión fue conocida, b) puede ser rigurosamente justificada y c) parece ser sólo un asintótica de expansión, no es una serie convergente. Sin embargo, la conclusión de que la función no puede ser un signomial sigue siendo válida, ya que los errores de las sumas parciales de la expansión acotada tal que cada término de la expansión debería estar contenida en la signomial, que por lo tanto se necesita tener un número infinito de términos.

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Deje $u=\sqrt pt$. Entonces

$$ \begin{align} \left(\frac{\sin t}t\right)^p &=\left(1-\frac16t^2+\frac1{120}t^4-\dotso\right)^p \\ &=\left(1-\frac16\frac{u^2}p+\frac1{120}\frac{u^4}{p^2}-\dotso\right)^p \\ &=\left(1+\frac1p\left(-\frac16u^2+\frac1{120}\frac{u^4}p-\dotso\right)\right)^p\;. \end{align} $$

Con

$$\left(1+\frac xn\right)^n=\mathrm e^x\left(1-\frac{x^2}{2n}+\frac{x^3(8+3x)}{24n^2}+\dotso\right)$$

(ver Wikipedia), tenemos

$$ \begin{align} \left(\frac{\sin t}t\right)^p &=\mathrm e^{-u^2/6}\left(1+\frac1{120}\frac{u^4}p+\dotso\right)\left(1-\frac1{72}\frac{u^4}p+\dotso\right) \\ &= \mathrm e^{-u^2/6}\left(1-\frac1{180}\frac{u^4}p+\dotso\right)\;, \end{align} $$

donde las expansiones en inversa poderes de $p$. La expansión no puede terminar, ya que de lo contrario el lado izquierdo tendría que presentan Gaussiano a la caries, que no. Así tenemos

$$ \begin{align} \sqrt p\int_0^\infty\left(\frac{\sin t}t\right)^p\mathrm dt &= \int_0^\infty\mathrm e^{-u^2/6}\left(1-\frac1{180}\frac{u^4}p+\dotso\right)\mathrm du \\ &= \sqrt{\frac{3\pi}2}\left(1-\frac{3}{20}\frac1p+\dotso\right) \end{align} $$

con una no termina de expansión en la disminución de los poderes de $p$. Si esto fuera un signomial, el líder plazo tendría que ser el líder de término de la expansión, a continuación, el líder término de el resto tendría que ser el líder término de el resto de la expansión, y así sucesivamente; por lo tanto la ampliación no puede ser replicado mi finita combinación lineal de potencias de $p$.