Integral con exp y erf

Question

Encontré una integral calculada por lo que entiendo con el método de "diferenciación bajo el signo de integración".

$$ \int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-b^{2}\left(x-c\right)^{2}\right)\mathrm{erf}\left(a\left(x-d\right)\right)\,\mathrm{d}x= {\frac{\sqrt\pi}{b}}\mathrm{erf}\left(\frac{ab\left(c-d\right)}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right) $$ para $b>0$ .

El autor del post original explica cómo obtuvo la solución:

"lo conseguí diferenciando el integrando respecto a a, luego integré sobre x=-inf..inf, luego sustituí a=sqrt(b*z)/sqrt(1-z) e integré sobre z y luego -lo más importante- comprobé el resultado numéricamente".

Así que traté de seguir ese procedimiento y me sale: $$I\left(a\right)=\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-b^{2}\left(x-c\right)^{2}\right)\mathrm{erf}\left(a\left(x-d\right)\right)\,\mathrm{d}x$$

$$\frac{\mathrm{d}I\left(a\right)}{\mathrm{d}a}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-b^{2}\left(x-c\right)^{2}\right)\mathrm{erf}\left(a\left(x-d\right)\right)\,\mathrm{d}x$$

$$\frac{\mathrm{d}I\left(a\right)}{\mathrm{d}a}=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial}{\partial a}\exp\left(-b^{2}\left(x-c\right)^{2}\right)\mathrm{erf}\left(a\left(x-d\right)\right)\,\mathrm{d}x$$

$$\frac{\mathrm{d}I\left(a\right)}{\mathrm{d}a}=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2\exp\left(-b^{2}(-c+x)^{2}-a^{2}(-d+x)^{2}\right)(-d+x)}{\sqrt{\pi}}\,\mathrm{d}x$$

$$\frac{\mathrm{d}I\left(a\right)}{\mathrm{d}a}=\frac{2b^{2}(c-d)}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{3/2}}\exp\left(-\frac{a^{2}b^{2}(c-d)^{2}}{a^{2}+b^{2}}\right)$$

Ahora sustituyo $z=\frac{a^2}{a^2+b^2}$ y después de algunas manipulaciones obtengo el lado derecho de la última ecuación: $$ 2\sqrt{b}(c-d)(1-z)^{3/2}\exp\left(-zb^{2}(c-d)^{2}\right) $$

No estoy seguro de cuál debería ser mi siguiente paso, así que agradecería cualquier sugerencia.

Answer 1

Intentemos una variante cercana : diferenciar relativamente a $d$ en lugar de $a$ al principio (para evitar el factor adicional $(x-d)$ en la integral y complicaciones en la integración final) :

$$I\left(d\right)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-b^{2}\left(x-c\right)^{2}}\ \mathrm{erf}\left(a\left(x-d\right)\right)\,\mathrm{d}x$$

$$\frac{\mathrm{d}I\left(d\right)}{\mathrm{d}d}=\frac {-2a}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-b^{2}(x-c)^{2}-a^{2}(x-d)^{2}}\,\mathrm{d}x$$

$$\frac{\mathrm{d}I\left(d\right)}{\mathrm{d}d}=\frac {-2a}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-b^{2}(x-c)^{2}-a^{2}(x-d)^{2}}\,\mathrm{d}x$$

$$\frac{\mathrm{d}I\left(d\right)}{\mathrm{d}d}=\frac {-2a}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\left(a^2+b^2\right)\left(x-\frac{b^2c+a^2d}{a^2+b^2}\right)^2+\frac{\left(b^2c+a^2d\right)^2}{a^2+b^2}-\left(b^2c^2+a^2d^2\right)}\,\mathrm{d}x$$

$$\frac{\mathrm{d}I\left(d\right)}{\mathrm{d}d}=\frac {-2a}{\sqrt{\pi}}e^{\frac{\left(b^2c+a^2d\right)^2}{a^2+b^2}-\left(b^2c^2+a^2d^2\right)}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\left(a^2+b^2\right)y^2}\,\mathrm{d}y$$

$$\frac{\mathrm{d}I\left(d\right)}{\mathrm{d}d}=\frac {-2a}{\sqrt{\pi}}e^{\frac{-a^2b^2\left(c-d\right)^2}{a^2+b^2}}\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{a^2+b^2}}=-2a\frac{e^{\frac{-a^2b^2\left(c-d\right)^2}{a^2+b^2}}}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

En este punto tenemos que integrar de nuevo relativamente a $d$ para obtener (hasta una función $C$ independiente de $d$ ) :

$$I\left(d\right)=\frac {\sqrt{\pi}}b\operatorname{erf}\left(\frac{ab(c-d)}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)+C(a,b,c)$$

(Alfa integración comprobación : observe que el denominador es $b$ y no $\sqrt{b}$ ni mi anterior $ab$ como he comprobado numéricamente)

Después de eso sólo tendrás que demostrar que $C(a,b,c)\equiv 0$

Obsérvese que la integración relativa a $d$ parece más sencillo que relativamente a $a$ en tu caso (¡no digo que no se pueda hacer a tu manera!).

Espero que te haya aclarado un poco las cosas, aunque no haya respondido a tu pregunta,