¿Qué operaciones se cierran bajo una métrica?

Question

Supongamos que $X$ es un conjunto con una métrica $d: X \times X \rightarrow \mathbb{R}$ . ¿Qué "operaciones" en $d$ ¿dará una métrica a cambio?

Con esto me refiero a una gran variedad de cosas. Por ejemplo, qué funciones $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ hará $g \circ d$ en una métrica, por ejemplo $g \circ d = \sqrt{d}$ . O qué funciones de las métricas producirán métricas a cambio, por ejemplo $d_1 + d_2$ , donde $d_1$ y $d_2$ son métricas distintas en $X$ .

Estoy buscando una lista de tales operaciones, y contraejemplos de aquellas que plausiblemente parecen que podrían definir una métrica pero no lo hacen.

Answer 1

No estoy seguro de que esta respuesta sea lo suficientemente específica para el OP, pero no estoy seguro de que haya una respuesta específica a esta pregunta.

La mayoría de las construcciones que transforman una métrica antigua en una nueva pueden generalizarse mediante funciones subaditivas . Más concretamente,

Supongamos que $g : [0, \infty) \to [0, \infty)$ es tal que:

1. $g$ es monótona creciente en $[0,\infty)$ ;
2. $g(t) > 0$ para $t > 0$ y $g(0)=0$ ;
3. $g$ es subaditiva: $g(s+t) \leq g(s) + g(t)$ para todos $s, t \geq 0$ .

Entonces, siempre que $(X,d)$ es un espacio métrico, entonces también lo es $(X, e)$ donde $e = g \circ d$ .

En algunos escenarios comunes, $g$ resulta ser estrictamente aumentando en $[0, \infty)$ en cuyo caso se cumple automáticamente la condición (2.).

A probar la proposición anterior, basta con verificar las definiciones de una métrica. Dado que este cálculo es rutinario, comprobaré sólo la propiedad más interesante, es decir, la desigualdad del triángulo:

$$e(x,z) = g(d(x,z)) \stackrel{?}{\leq} g(d(x,y)+d(y,z)) \stackrel{?}{\leq} g(d(x,y)) + g(d(y,z)) = e(x,y)+e(y,z) .$$ (¿Por qué se mantienen las desigualdades marcadas con "?"?)

Nota: . De hecho, podemos decir un poco más que el hecho $e$ define una métrica en el espacio $X$ . Suponiendo además que $g$ es continua, la nueva métrica $e$ es "equivalente" a $d$ (en el sentido de que generan las mismas topologías).

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Estos son algunos ejemplos de uso común $g$ :

1. $g(t) = t^p$ para cualquier $p \in (0,1]$ .

2. $g(t) = \min \{t,1 \}$ .

3. $g(t) = \frac{t}{t+1}$ .

Observa que en el segundo y tercer ejemplo, $g$ es una función acotada. De hecho, estos son ejemplos estándar utilizados para demostrar que toda métrica $d$ es, de hecho, topológicamente equivalente a una métrica acotada. (En particular, la acotación de una métrica no es una propiedad topológica).

Answer 2

Un ejemplo común es $\rho(x,y) = \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}$ Así que $g$ en este caso es la función $\frac{x}{1+x}$ .

Answer 3

$\sqrt{d_1^2+d_2^2}$ es una métrica.

En general, si $\|\cdot\|$ es cualquier norma sobre $\mathbb{R}^n$ y $(d_j)_{1\leq j\leq n}$ son $n$ métricas sobre $X$ entonces $$\tilde{d}(x,y)=\| (d_j(x,y))_{1\leq j\leq n}\|$$ define una métrica en $X$ también.

Answer 4

Uno de los resultados es que si $(X,d)$ y $(Y,e)$ son espacios métricos y si $F:X\to Y$ es continua, entonces $$d'(x,x')=d(x,x')+e(F(x),F(x'))$$ es una métrica en $X$ equivalente a $d. $ Eso es, $d$ y $d'$ generar la misma topología en $X.$

Esto puede ser útil, especialmente con $Y=\Bbb R$ y $e(y,y')=|y-y'|.$

Por ejemplo, supongamos que $(X,d)$ no es compacto. Entonces $X$ tiene un subespacio discreto cerrado y contablemente infinito $U.$ (No todos los espacios no compactos tienen esta propiedad, pero sí los espacios métricos no compactos). Podemos construir un espacio continuo $F:X\to \Bbb R$ tal que $\{F(u):u\in U\}$ no tiene límites en $\Bbb R.$ Por lo tanto, existe una métrica no limitada equivalente $d'(x,x')=d(x,x')+|F(x)-F(x')|$ en $X.$ Esto es lo contrario a "Si $(X,d)$ es un espacio métrico compacto, entonces cualquier métrica sobre $X$ que equivale a $d$ está acotado".