¿Es el modelo estándar de un subgrupo invariante de $SU(5)$?

Question

Es bien sabido que el Modelo Estándar (SM) medidor de grupo es un subgrupo de $SU(5)$: \begin{equation} SU(3) \times SU(2)\times U(1) ~\subset~SU(5) \end{equation} Esto puede comprobarse fácilmente mediante el método de los diagramas de Dynkin. Es este un subgrupo invariante de los subgrupos tales que, \begin{equation} g _{SU(5)} g _{SM} g _{SU(5)} = g _{SM} ' \,, \end{equation} donde $g_{SU(5)}$ ($g_{SM}$) es un elemento de $SU(5)$ ($SM$)?

Antecedentes: La razón por la que estoy interesado en esto es debido a su entonces necesariamente cierto que la no-SM calibre grupo de generadores de $SU(5)$ puede ser escrito como el único fuera de la diagonal de las matrices y el SM como el único diagonal (esto es fácil ver por escrito de las matrices en el bloque diagonal de la forma), que simplifica los cálculos.

Answer 1

En realidad, $$G~:=~SU(3) \times SU(2)\times U(1)$$ is not a subgroup of $SU(5)$, but $G/\mathbb{Z}_6$ is a subgroup of $SU(5)$, cf. por ejemplo, este Phys.SE post y Ref. 1.

Nos interprete OP pregunta (v3) como esencialmente pidiendo

Es $G/\mathbb{Z}_6$ un subgrupo normal de $SU(5)$?

O en términos de la correspondiente álgebras de Lie,

Es $su(3) \oplus su(2)\oplus u(1)$ un ideal de a $su(5)$?

Aquí identificamos $su(5)$ con anti-Hermitian traceless $5\times 5$ matrices; $su(3)$ con anti-Hermitian traceless $3\times 3$ bloque de matrices en las filas/columnas 1,2,3; y $su(2)$ con el anti-Hermitian traceless $2\times 2$ bloque de matrices en las filas/columnas 4,5; mientras que $u(1)$ es generado por la diagonal traceless matriz ${\rm diag}(-2,-2,-2,3,3)$ veces un número imaginario.

No es difícil ver que si tenemos en cuenta la Mentira de soporte (o, equivalentemente, conmutador) $C=[A,B]$ entre, por ejemplo, un $su(3)$ matriz $A$ con los no-cero entradas 12 y 21, y un $su(5)$ matriz $B$ con cero entradas de 25 y 52, a continuación, $C$ cero elementos 15 y 51, y por lo tanto no pertenecen a $su(3) \oplus su(2)\oplus u(1)$.

Llegamos a la conclusión de que $su(3) \oplus su(2)\oplus u(1)$ es no un ideal de a $su(5)$.

Referencias:

1. J. C. Báez, Calabi-Yau Colectores y el Modelo Estándar, arXiv:hep-th/0511086.