Las sustituciones de la integral trigonométrica $ \int \cos \theta \cos ^5 \left ( \sin \theta\right ) d \theta $

Question

Evalué $$ \int \cos \theta \cos ^5 \left ( \sin \theta\right ) d \theta $$ y llegué a un resultado que es muy similar a lo que puedo comprobar con Mathematica pero no estoy seguro de que sea equivalente, lo que hice es lo siguiente, $$ \int \cos \theta \cos ^5 \left ( \sin \theta\right ) d \theta $$ $$= \int \cos ^4 \left ( \sin \theta\right ) \cos\left ( \sin\theta\right ) \cos \theta d \theta $$ $$= \frac 14 \int \left (1+2 \cos\left (2 \sin\theta\right )+ \cos ^2 \left (2 \sin\theta\right ) \right ) \cos\theta d \theta $$ $$= \frac 14 \int \cos\left ( \sin\theta\right ) \cos \theta d \theta\ ;+\; \frac 12 \int \cos\left (2 \sin\theta\right ) \cos\left ( \sin\theta\right ) \cos \theta d \theta\ ;$$ $$+\; \frac 18 \int \left (1+ \cos\left (4 \sin \theta\right ) \right ) \cos\left ( \sin\theta\right ) \cos\theta d \theta $$ Yo uso $ \cos A \cos B = \frac 12 \left ( \cos\left (A-B \right ) + \cos\left (A+B \right ) \right )$ y yo me quedo, $$= \frac 14 \int \cos\left ( \sin\theta\right ) \cos\theta d \theta\ ;+\; \frac 14 \int \cos\left ( \sin \theta\right ) \cos\theta\ ,d \theta\ ,+\, \frac 14 \int\cos\left (3 \sin\theta\right ) \cos\theta d \theta \;$$ $$+\; \frac 1{8} \int \cos\left ( \sin\theta\right ) \cos \theta\ ,d \theta \;+\; \frac 1{16} \int \cos\left (3 \sin\theta\right ) \cos \theta d \theta \;+\; \frac 1{16} \int \cos\left (5 \sin\theta\right ) \cos \theta d \theta $$ que es igual a $$= \frac 5{8} \int \cos\left ( \sin\theta\right ) \cos \theta\ ,d \theta \;+\; \frac 5{16} \int \cos\left (3 \sin\theta\right ) \cos \theta d \theta \;+\; \frac 1{16} \int \cos\left (5 \sin\theta\right ) \cos \theta d \theta $$

Editar (solución correcta)

Aplicando la sustitución correcta, dejando $u = \sin \theta $ de tal manera que $du = \cos \theta\ ,d \theta $ para conseguir, $$ \frac 58 \int \cos u\,du\;+\; \frac 5{16} \int \cos 3u\, du\;+\; \frac 1{16} \int \cos 5u \,du$$ produce el mismo resultado que $Mathematica$ es decir.., $$ \int \cos \theta \cos ^5 \left ( \sin \theta\right ) d \theta \;=\; \frac 58 \sin\left ( \sin\theta\right )\;+\; \frac 5{48} \sin\left (3 \sin\theta\right ) \;+\; \frac 1{80} \sin\left (5 \sin\theta\right )$$ Por supuesto, la sustitución podría y debería ser aplicada desde el principio, para simplificar. Quería corregir el último paso dejando la pregunta como estaba para otros que pudieran cometer el mismo error que yo y para quien pudiera encontrar esa información útil.

Answer 1

Empieza por organizar las cosas un poco mejor: tenemos $$ \int \cos^5(\sin(\theta))\cos(\theta)d\theta = \int \cos^5(u)du $$ donde $u=\sin(\theta).$ Por lo tanto, sólo tenemos que preocuparnos de esta integral.

Una forma de hacerlo es escribir $$ \int \cos^5(u)du = \int\cos^4(u)\cos(u)du = \int(1-\sin^2(u))^2\cos(u)du = \int(1-w^2)^2dw$$ donde $w=\sin(u).$ Así, obtenemos $$ \int(1-w^2)^2dw = \int(1-2w^2+w^4)dw = w-\frac{2}{3}w^3 + \frac{1}{5}w^4 \\= \sin(\sin(\theta)) - \frac{2}{3}\sin^3(\sin(\theta))+\frac{1}{5}\sin^5(\sin(\theta))$$ donde conectamos de nuevo $w=\sin(\sin(\theta)).$

Otra forma es utilizar una fórmula para $\cos^5(u)$ : $$\int \cos^5(u)du = \int\frac{1}{16}(10\cos(u)+5\cos(3u)+\cos(5u))du\\=\frac{1}{16}\left(10\sin(u)+\frac{5}{3}\sin(3u) + \frac{1}{5}\sin(5u) \right)\\=\frac{5}{8}\sin(\sin(\theta)) + \frac{5}{48}\sin(3\sin(\theta)) + \frac{1}{80}\sin(5\sin(\theta)).$$ Al parecer, a Mathematica le gusta esta forma.

Así que es totalmente posible conseguir expresiones de aspecto muy diferente. Sin embargo, la tuya no es correcta. Aunque haces muchas cosas correctas en la fase de simplificación, tienes razón en que donde dices "esto es cuando no estoy seguro de que sea correcto" es donde te sales del camino. Deberías realizar la sustitución de la u $u=\sin(\theta)$ para deshacerse del $\cos(\theta),$ no usar una identidad trigonométrica para absorberla (lo que no has hecho bien.. deberías obtener cosas como $\cos(\sin(\theta)-\theta))$ ... no se puede restar traer el $\theta$ en el interior del $\sin$ función. No funciona así).

Entonces, cuando te integras, eso tampoco está bien. Tienes para un término $\int \cos(\sin(2\theta))d\theta .$ No se puede integrar simplemente dividiendo por lo que hay dentro. Esto sólo palabras cuando el interior es $3\theta$ o algo así... entonces puedes dividir por $3.$ En su lugar, necesitaría algo como un $\cos(2\theta)$ en el exterior que podría utilizar para u sustituto $u=\sin(2\theta),$ pero tú no tienes eso (y la expresión no es correcta, de todos modos).

Veo que utilizas Mathematica para comprobar tus respuestas, y es una buena idea (siempre que no te vuelvas demasiado dependiente de él). Un par de consejos:

1. Si te preguntas si dos expresiones son equivalentes, puedes usar mathematica para graficarlas y ver.

2. Puede utilizar Mathematica para comprobar los subpasos así como la respuesta final, como en $\int \sin(\sin(2\theta))d\theta$ arriba.

Answer 2

Prueba este método una vez -

Poner $\sin\theta =t$

$\cos\theta d\theta = dt$

Así que tenemos,

$\int \cos^5t$ dt

Ahora resuélvelo.

Cualquier duda no dude en preguntar.