¿Cómo probar que $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(log (n))^2}{n^2}$ converge?

Question

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(log (n))^2}{n^2}$$

Sé que esta serie converge (prueba por la Hoja de respuestas).

Sin embargo tengo que demostrar que el uso de la comparación, la integración, la relación o de otras pruebas.

La integración de la prueba no parece ayudar.

La prueba de razón parecía arrojar luz, excepto que requiere de más pruebas que $\frac{log(n+1)}{log(n)} < 1$ etc que me hace pensar que este no es el mejor enfoque.

He considerado que el hecho de que $log(n) < \sqrt{n}$ pero esto sólo demuestra que es menos de un divergentes de la serie, que no ayudan.

Sugerencias?

Answer 1

¿Has probado prueba de condensación de Cauchy?

Nota: Esta prueba es generalmente útil para deshacerse de los logaritmos al tratar de comprobar si una serie converge o diverge.

Espero que ayude,

Answer 2

Se trata de una serie de Bertrand. Fácilmente puede demostrar convergencia usando análisis asintótico.

De hecho, tenemos $\log^2n=_\infty o(n^{1/2})$, donde $$\frac{\log^2n}{n^2}=\frac{o(n^{1/2})}{n^2}=o\biggl(\frac1{n^{3/2}}\biggr).$ $ ya que ambas son series con términos positivos y converge el último, hace el anterior también.

Answer 3

Hay, por supuesto, el acogedor viejo Integral de la Prueba:

$$ \ \int_1^{\infty} \ \ \frac{(\log x)^2}{x^2} \ \ dx \ \ = \ \ \left[ - \ \frac{(\log x)^2 \ + \ 2 \log x \ + \ 2 \ }{x} \right]_1^{\infty} \ \ = \ \ 2 \ \ . $$

No estoy seguro de lo que el comentario sobre la "integración de la prueba no parece ayudar" significa: que sólo hay que tener un poco de paciencia con la integración por partes y de l'Hospital o algún otro límite de la técnica.

De hecho, uno encuentra que el resultado se puede generalizar a

$$ \ \int_1^{\infty} \ \frac{(\log x)^p}{x^q} \ \ dx \ \ $$

convergente de números enteros $ \ p \ \ge \ 1 \ $$ \ q \ \ge \ 2 \ $ . Tenemos $$ \ \int_1^{\infty} \ \ \frac{(\log x)^p}{x^2 } \ \ dx \ \ = \ \ p! \ \ , $$

[EDIT: Este último resultado puede ser demostrado mediante la conexión de la fórmula de reducción,

$$ \ \int \ \ \frac{(\log x)^p}{x^2 } \ \ dx \ \ = \ \ -\frac{(\log x)^p}{x} \ \ + \ \ p \ \int \ \ \frac{(\log x)^{p-1}}{x^2 } \ \ dx \ \ , $$

con nuestro anterior expresión para $ \ p \ = \ 2 \ $ . ]

y $$ \frac{(\log x)^p}{x^2 } \ \ge \ \frac{(\log x)^p}{x^q } $$

para$ \ q \ > \ 2 \ $$ \ x \ \ge \ 1 \ $ . Este establece nuestra convergencia proposición para la impropias integrales (integral de comparación), así

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(\log n)^p}{n^q} $$

converge para enteros $ \ p \ \ge \ 0 \ $$ \ q \ \ge \ 2 \ $ .

Answer 4

Si tenemos

$$\ln(x)=\lim_{n\to0}\frac{x^n-1}n$$

Entonces uno puede afirmar que $\ln(x)=o(x^0)$.

En otras palabras,

$$\sum{n=1}^\infty\frac{\log^2(n)}{n^2}=\sum{n=1}^\infty\frac{o(n^0)^2}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty\frac{o(n^0)}{n^2}$$

Y ya que sabemos que $\sum_{n=1}^\infty\frac{n^k}{n^2}$ converge para $k