$a^2+b^2=2Rc$, donde $R$ es el circunradio del triángulo. Luego demostrar que $ABC$ es un triángulo rectángulo

Question

Si en un triángulo $ABC$ $c$ es el lado más largo y el $a^2+b^2=2Rc$, donde $R$ es el circunradio del triángulo. Luego demostrar que $ABC$ es un triángulo rectángulo.

$a^2+b^2=2Rc\Rightarrow a^2+b^2=\frac{c^2}{\sin C}$
¿$\sin C=\frac{c^2}{a^2+b^2}$, cómo seguir adelante? Estoy atrapado.

Answer 1

En un $\triangle ABC$, $c$ es el lado más largo y $a^2+b^2=2Rc$, donde $R$ es el circunradio del triángulo. Demostrar que $\triangle ABC$ es un triángulo rectángulo.

Tenemos \begin{align} \sin C&=\frac{c^2}{a^2+b^2}, \\ \cos C&= \tfrac12 \frac{a^2+b^2-c^2}{ab}, \end{align} por lo tanto \begin{align} 1&=\left(\frac{c^2}{a^2+b^2}\right)^2 +\left(\tfrac12 \frac{-c^2+a^2+b^2}{ab}\right)^2 \end{align} $\Rightarrow$ \begin{align} 0&= \frac{(a^2+b^2-c^2) ((6 a^2 b^2+a^4+b^4) c^2+b^4 a^2+b^2 a^4-a^6-b^6) }{ 4 a^2 b^2 (a^2+b^2)^2 } \end{align}

Así que una solución para $c$ en términos de $a$ $b$ sin duda corresponde a un triángulo rectángulo, $c^2=a^2+b^2$. Asumiendo $a>b$, el otro es

\begin{align} c^2&= \frac{ (a^2+b^2)(a^2-b^2)^2 }{ (a^2+b^2)^2+4 a^2 b^2 } \end{align} o, \begin{align} c^2&=a^2 \frac{ \left(1-\tfrac{b^2}{a^2}\right)^2 }{ 1+4\tfrac{b^2}{a^2+b^2}+\tfrac{b^2}{a^2} } <a^2, \end{align} por lo tanto para esta solución $c$ no es el lado más largo, la respuesta es: de hecho, es un triángulo rectángulo.

Editar

Solución de ejemplo con "malo" (que es, y no en todos) el triángulo para que $a^2+b^2=2Rc$ ($c<a$):

\begin{align} a&=2,\ b=1,\ c=\tfrac3{41}\sqrt{205}\approx 1.047645443 \\ \rho&=\tfrac12(a+b+c)=\tfrac32+\tfrac3{82}\sqrt{205} \\ S&=\sqrt{\rho(\rho-a)(\rho-b)(\rho-c)}=\tfrac9{41} \\ R&=\frac{abc}{4S}=\tfrac16\sqrt{205} \end{align} De verificación: \begin{align} a^2+b^2&=5 \\ 2Rc&=2\cdot \tfrac16\sqrt{205}\cdot \tfrac3{41}\sqrt{205}=5. \end{align}

Answer 2

Usted es correcto utilizar la ley del seno.

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \tag{1}$$

Si se aplica la ley del seno a lados $a,b$ se convierte la ecuación principal:

$$\begin{align} &4R^2 \sin^2A + 4R^2 \sin^2B = 4R^2 \sin C \implies \ &\sin^2A + \sin^2B = \sin C\tag{2} \end {Alinee el} $$

Para un triángulo $C = 180^\circ - (A+B)$, entonces

$$\sin C = \sin(A+B)$$

Sustituyendo esto en (2), obtenemos:

$$\sin^2A + \sin^2B = \sin (A+B) \tag{3}$$

¿Puede mostrar que una solución es $A+B=90^\circ$, que $C=90^\circ$?