Cuando podemos factor $\displaystyle\sum_{l=0}^{n-1} m^l$

Question

Inspirado por esta cuestión que en el caso $k=2$ necesitamos factorizar el segundo factor también:

¿$$\displaystyle\sum_{l=0}^{n-1} m^l$ $ Podemos decir cualquier cosa en general para que $n$ o $m$ esto será posible?

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Mi trabajo se limita a concluir si $n$ es un número compuesto $n = f_1\cdot f_2$, entonces:

$$\displaystyle\sum{l=0}^{n-1} m^l = \left(\displaystyle\sum{l=0}^{f1-1} m^l\right)\left(\displaystyle\sum{l=0}^{f_2-1} m^{l\cdot f_1}\right)$$

Por ejemplo $n=6 = 3 \cdot 2$: $$m^5+m^4+m^3+m^2+m^1+1 = (m^2+m^1+1)(m^3+1) = (m+1)(m^4+m^2+1)$ $

Answer 1

Si $s (m, n) = \sum_{l=0}^{n-1} m ^ l $ y $s (m, n) = \dfrac{m^n-1}{m-1} $.

También, de $x ^ n-1 =(x-1) \sum {j = 0} ^ {n-1} x ^ j$, tenemos las factorizaciones $m ^ {ab} -1 = (m ^ a-1) \sum {j = 0} ^ m {b-1} ^ {ja} = (m ^ a-1) s (m ^ a, b) $ y $m ^ {ab} -1 = (m ^ b-1) \sum_ {j = 0} ^ m {a-1} ^ {jb} = (m ^ b-1) s(m^b un) $.

Por lo tanto, si $n = ab$ $s entonces (m, n) = \dfrac{m^n-1}{m-1} = \dfrac{m^{ab}-1}{m-1} = \dfrac {(m ^ a-1) s (m ^ a, b)} {m-1} = s(m, a) s (m ^ a, b) $.

También tenemos $s (m, n) = s (m, b) s (m ^ b, a) $.