Si$2^X = 2^Y$ entonces,$X=Y$?

Question

Estoy bloqueado en una pregunta sobre conjuntos:

si$2^X= 2^Y$ es válido para dos conjuntos$X$ y$Y$, entonces ¿podemos decir que$X=Y$?

Sé cómo demostrarlo con dos enteros a y b, pero ¿cómo puedo mostrarlo con dos conjuntos?

Gracias

Answer 1

Sí. Mostramos que$X \subseteq Y$, y luego$Y \subseteq X$ sigue por simetría.

Dejar $x \in X$. Entonces $\{x\} \in \mathcal{P}(X)$. Entonces, como$\mathcal{P}(X) = \mathcal{P}(Y)$, tiene$\{x\} \in \mathcal{P}(Y)$; asi que $x \in Y$.

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De hecho, una forma más rápida que omite un cuantificador:$X \subseteq X$, entonces$X \in \mathcal{P}(X)$, entonces$X \in \mathcal{P}(Y)$, entonces$X \subseteq Y$.