¿Cómo es una Clase de grupo de medir el fracaso de la Única factorización?

Question

Se me ha atascado con un problema grave de los últimos días. He desarrollado algunos intuición para mi auto en la comprensión de la clase de grupo, pero he perdido la pista en mi cerebro. Así que ahora estoy frente a un infierno.

El grupo Clase está dado por $\rm{Cl}(F)=$ {Fraccional Ideales de F} / {Principio de fracciones de los Ideales de F} , ($F$ es una ecuación cuadrática número de campo) por lo que estamos en realidad la eliminación de las Principales fracciones de los ideales (que es lo que se entiende por coeficiente de grupo). Pero, ¿cómo puede esa clase de grupo medir el fracaso de la Única Factorización ?

Por ejemplo un ejemplo común que se puede encontrar en cualquier libro de texto es $\mathbb{Z[\sqrt{-5}]}$ en el que podemos factorizar $6=2\cdot3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$. Por lo que no han única factorización. Ahora puede alguien amablemente aclarar estos puntos ?

• ¿Cómo se puede construir $\rm{Cl}(\sqrt{-5})$ mediante el cociente de los grupos ?

• ¿Cuáles son los elementos de $\rm{Cl}(\sqrt{-5})$ ? ¿Qué esos elementos indican ? ( Yo creo que debe de alguna forma de indicar los residuos que son la prevención de la $\mathbb{Z[\sqrt{-5}]}$ de tener una única factorización )

• ¿Qué $h(n)$ indican ? ( Número de clase ). Al $h(n)=1$ implica que la única factorización existe . Pero, ¿qué hace el $1$ $h(n)=1$ indican. Esto significa que hay un elemento en el grupo de clase , pero no que evitar que el Único Factorización ?

EDITAR:

Estoy interesado en saber si hay cualquier polinomio de tiempo de ejecución de algoritmos que lista todos los números que no para mantener la factorización única en un campo de número ?

Estoy esperando que pueden ser del grupo de Clase podría tener algo que ver con estas cosas. Mediante el grupo de clase de un campo de número de podemos extraer todos esos números ? Por ejemplo, si sustituimos en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, entonces tenemos que tener $6$ y otros números que no admiten una única factorización.

Por favor, responde a los puntos anteriores y me salve de confusión .

Gracias.

Answer 1

Hay varias maneras de interpretar cómo los grupos de la clase de medida (no)factorización única. Por ejemplo, Carlitz (1960) demostró que el grupo clase ha pedido en la mayoría de los $2$ fib todos factorizations de un valor distinto de cero nonunit en irreducibles tienen el mismo número de factores. Narkiewicz plantea el problema de la generalización de este, es decir, la elaboración de aritmética de las caracterizaciones de los grupos de la clase. A continuación se muestra una caracterización sencilla, debido a J. Kaczorowski, Colloq. De matemáticas. 48 (1984), no. 2, 265-267.

Deje $\,\cal O\,$ denota el anillo de enteros de un número algebraico de campo. Un entero algebraico $\rm\,a\in \cal O\,$ dijo estar totalmente irreductible si es irreductible e $\rm\,a^n\,$ tiene una única factorización para todos los $\rm\,n\in \Bbb N.\,$ Deje $\rm\ {\rm ord}\, a\ $ ser el menos $\rm\,n\in \Bbb N\,$ de manera tal que la longitud de cualquier factorización de $\rm\,ab\,$ $\rm\,\le n\,$ por cualquier totalmente irreductible $\rm\,b\in \cal O.\:$ Una secuencia de nonassociate algebraica de los números enteros $\rm\,a_1,\ldots, a_k\,$ se dice ser buena si cada $\rm\,a_i\,$ es completamente irreductible, pero no el primer, y su producto $\rm\, a_1\cdots a_k\,$ factores de forma única. Supongamos que $\rm\,a_1,\ldots,a_k\,$ es una buena secuencia de tener la máxima $\rm\,\prod {\rm ord}\,a_i.\,$ $\cal O$ grupo de clase $\,\rm\cong C({\rm ord}\, a_1\!) \oplus \cdots \oplus C({\rm ord}\,a_k\!),\:$ donde $\rm \,C(n) \cong $ grupo cíclico de orden $\rm\,n.$

Resultados similares fueron publicados por F. Halter de Koch, y D. E. Rush alrededor del mismo tiempo. Desde entonces, estos resultados han sido generalizadas y abstractas en una poderosa teoría de la no factorización en Krull monoids. La búsqueda de dichos autores y Geroldinger para aprender más.

Answer 2

Para su tercera viñeta, si sólo hay un elemento en el grupo de clase, entonces la única factorización tiene porque entonces todas las fracciones de los ideales son principales, y, en particular, el anillo de los enteros es una de las principales ideales de dominio, que es equivalente a la única factorización para anillos de Dedekind.

En cuanto a los dos primeros, sólo voy a indicar que el grupo de clase de $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Tal vez alguien más puede ayudarte con los detalles de la computación, pero podemos estar seguros de que el grupo no es trivial debido a ejemplos como los de $(1+\sqrt{-5},1-\sqrt{-5})$. Usted puede ver que este ideal plazas a $(2)$, y que el grupo de clase es $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ le dice que, de hecho, todo ideal es principal o la raíz cuadrada de un director. Desafortunadamente, usted puede ver perdemos una gran cantidad de información, de paso para el grupo de clase, y, en particular, no nos dice nada en absoluto acerca de que elementos son los obstáculos a la única factorización. La intuición, más bien, es que, más complicado del grupo de clase implica estamos más lejos de factorización única.

Answer 3

Primero de todo, quiero aclarar una cosa: tomar el cociente por el subgrupo de las principales ideas es no lo mismo como quitar el subgrupo. Esto significa que dos fracciones de los ideales de la $\frak{A}$ $\frak{B}$ son equivalentes iff $\frak{A}^{-1}\frak{B}$ es un director ideal.

En general, si uno quiere calcular el grupo de clase de un campo de número, la primera cosa que usted puede hacer es calcular el número de clase; una buena manera de abordar este es el primer calcular un límite superior para el número de la clase. Para este propósito, puede utilizar Minkowski enlazado: $$M_F:=\sqrt{|D|}\left(\dfrac{4}{\pi}\right)^{r_2}\dfrac{n!}{n^n},$$ donde $F$ es un campo de número de grado $n$ más de $\mathbb{Q}$, $D$ es el discriminante, $r_2$ es la mitad de la cantidad de complejos incrustaciones. En general, todas las clases en el grupo de clase contiene un ideal de norma en la mayoría de las $M_F$, y para el grupo de clase se genera por el primer ideales de norma en la mayoría de las $M_F$. Mediante el estudio de la división de la racional primer ideales en $F$, se puede deducir una gran cantidad de información acerca de la clase de grupo. Para ver un ejemplo de los cálculos, le recomiendo esta nota por Keith Conrad.

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Aquí hay dos maneras de pensar acerca de un dominio de Dedekind con número de clase igual a 1. En primer lugar, para los dominios de Dedekind, siendo una Única factorización de dominio (UFD) es equivalente a ser un Director ideal de dominio (PID) (básicamente, esto se deduce del hecho de que los dominios de Dedekind se Noetherian integral de los dominios en los que cada valor distinto de cero el primer ideal es máxima). Por lo tanto, un dominio de Dedekind tiene un trivial de la clase de grupo si y sólo si todo ideal es principal, si y sólo si es un disco flash usb. Segundo, sabemos que en los dominios de Dedekind, de cada fracción ideal tiene una única factorización en primos ideales. Por lo tanto, se puede pensar en el grupo de clase como una comparación entre la única factorización de la fracción de los ideales y la única factorización de por sí.

Answer 4

La idea es que el anillo de enteros $R$ de un campo de número, $R$ es un UFD si y sólo si $R$ es un PID. Sólo una forma de esto es en general, el anillo de los enteros es un lugar especial.

Por lo que es suficiente para el estudio de los ideales de la $R$. El resultado anterior, básicamente nos dice que cualquier director ideales en una factorización de un ideal de a $R$ no son obstáculo para una única factorización de elementos, por lo que es suficiente para tirar de ellos y el estudio de los "malos" los ideales, es decir, la no-principal. Pero incluso algunos de estos pueden ser considerados para producir el "mismo" obstrucción a $R$ ser un UFD.

Creando el cociente estamos, en cierto sentido, la realización de todo esto, la falta de elementos de identidad debe describir todos genuinamente diferentes obstáculos a $R$ ser un UFD. Si sólo hay un elemento en el cociente, es evidente que no hay obstáculos ya que todo ideal es principal, por lo tanto $R$ es un UFD.

Answer 5

h=1 significa que el tamaño de la clase es de 1. Eso significa que el grupo es el trivial grupo con un solo elemento, el de la identidad. El elemento de identidad de la clase de grupo es la clase de equivalencia de los principales ideales. Por lo tanto h=1 es equivalente a "todas las fracciones de los ideales son principales" o, equivalentemente, "todos los ideales son principales".