El cohomology de esquemas proyectivos puede ser calculada a través de la resolución de la estructura de la gavilla mecida por los giros de $\mathcal O_{\mathbb P^n}$. En el caso de hypersurfaces, la resolución es especialmente agradable, y la cohomology se puede encontrar por la escritura de largo exacto de las secuencias.
En tu ejemplo, tenemos una secuencia exacta
$$
0 \a \mathcal O_{\mathbb P^ n}(-d) \a \mathcal O_{\mathbb P} \\mathcal O_X \a 0
$$
donde la izquierda mapa es la multiplicación por $f$. Entonces uno puede tomar cohomology de este para calcular $H^i(X,\mathcal O_X)$. Tenemos
$$
...\H^{i}(\mathcal O_{\mathbb P}(-d)) \H^i(\mathcal O_{\mathbb P}) \H^i(\mathcal O_X) \H^{i+1}(\mathcal O_{\mathbb P}(-d)) \...
$$
Si $0 < i < n$,$H^i(\mathcal O_{\mathbb P}(l))=0$, con lo que conseguimos $H^i(\mathcal O_X(k))=0$$0 < i < n-1$. Queda por calcular $H^0(\mathcal O_{X}(k))$$H^{n-1}(\mathcal O_X(k))$.
Tenemos
$$
0 \H^0(\mathcal O_{\mathbb P}) \H^0(\mathcal O_{X}) \a 0
$$
por lo $H^0(\mathcal O_{X})=1$. Pero torsión dará
$$
0 \H^0(\mathcal O_{\mathbb P}(-d+k)) \H^0(\mathcal O_{\mathbb P}(k)) \H^0(\mathcal O_X(k)) \a 0
$$
Así, por $k \geq d$, obtenemos que $H^0(\mathcal O_X(k))$ es una diferencia de los coeficientes binomiales. Para$k < d$,$H^0(\mathcal O_X(k)) \simeq H^0(\mathcal O_{\mathbb P}(k))$.
Para calcular la parte superior cohomology, simplemente se invierte el argumento de la anterior (en la fantasía idioma: utilice la dualidad de Serre en $\mathbb P^n$ y la contigüidad de la fórmula en $X$).
En general, si $X$ se define por más de una ecuación, usted tendrá que dividir la resolución de $\mathcal O_X$ a corto exacta secuencias y hacer más trabajo. Pero todo sigue de la cohomology de $\mathbb P^n$ y el hecho de que $h^0(\mathcal O_{\mathbb P}(d))=\binom{n+d}{d}$.
