¿Cuál es la razón física detrás de linealidad de Schrodinger ' ecuación de s?

Question

¿Cuál es la razón física de la ecuación de Schrodinger ser lineal? Aunque en física muchas interacciones o dinámica se encuentra no lineal.

Answer 1

Se debe entender que la física - al menos en su forma actual - no proporciona respuestas a "¿por Qué estas leyes?" preguntas. Sólo se puede describir un emergente de la ley de una forma más profunda y más fundamental. La teoría cuántica es hasta ahora la mayoría de marco fundamental que tenemos, así que no hay más fundamental de "la razón" para describir la estructura de un lado a partir de la búsqueda de vínculos entre los diversos propiedades de la teoría.

La linealidad de la ecuación de Schrödinger es una consecuencia de la más general principio de superposición. Este principio afirma que las causas suman linealmente hacia los efectos y se postula.

Pero lo que nos llevan a este postulado? Las observaciones experimentales de onda de efectos tales como la interferencia, y ciertos experimentos con giro/polarización de las partículas. Ver, por ejemplo, el experimento de doble rendija experimento de interferencia y el Malus de la ley para la luz polarizada, aunque se pasa un haz de perfectamente polarizada fotones a través de un polarizador en un ángulo diferente, que puede ser "linealmente descompuesto" en fotones de diferentes polarizaciones y una parte de ellos pasa a través. I. e. los fotones que pasan a través estará polarizado en el acuerdo con la orientación del polarizador y este proceso puede ser totalmente comprendido a través de la linealidad de la mecánica cuántica de los estados.

Sin embargo, la postulación de la linealidad fue sólo una consecuencia de conocer principalmente lineal de ecuaciones de onda. Estos efectos son concebibles en una teoría con ligeras no linearities y, de hecho, esto ha sido propuesto. Este artículo revisa brevemente las propuestas y sus pruebas experimentales de que dado que la propuesta de no linealidades son más allá de la detección alcance.

El artículo vinculado también proporciona una "prueba" de la linealidad de la evolución de la mecánica cuántica, bajo algunos supuestos razonables. Pero yo lo entiendo más como una prueba de una conexión más profunda entre la estructura más habitual de los operadores lineales y estado de los espacios con el general de la linealidad de la mecánica cuántica evolución. I. e., el artículo muestra que íbamos a tener que cambiar a un marco diferente, sin estados $|\psi\rangle$, lineal hermitian operadores y su interpretación habitual, para incluir la no-linealidad en la mecánica cuántica.

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Así que la conclusión es - parece que la linealidad de la mecánica cuántica evolución (también conocido como ecuación de Schrödinger) es una parte vital de la estructura de la teoría. Sin embargo, nunca se puede justificar la linealidad completo, la principal razón para ello es que "simplemente funciona". Pero no se excluye la posibilidad de un cambio de paradigma, incluyendo la introducción de la no-linealidad.

Answer 2

Es mejor visto en la representación de Heisenberg. Cantidades físicas, Observables, están representados por hermitian lineal de los operadores. La ecuación de movimiento es entonces (para un no-relativista masiva de partículas) :

$$ m \dfrac{d^2\hat X(t)}{dt^2} = - \dfrac{\partial V(\hat X)}{\partial \hat X}(t) \tag{1}$$

con la cuantificación de condiciones :

$[\hat X(t),m \dfrac{d\hat X(t')}{dt}]_{|t=t'} =i \hbar$

La ecuación de $(1)$ es una ecuación entre los operadores, por lo tanto tenemos :

$$\forall |\psi\rangle, \quad m \dfrac{d^2\hat X(t)}{dt^2} |\psi\rangle = - \dfrac{\partial V(\hat X)}{\partial \hat X}(t) |\psi\rangle\tag{2}$$

Aquí $|\psi\rangle$ es un estado constante (no dependiendo de la hora).

La ecuación de $(2)$ claramente surge debido a que, en la mecánica Cuántica, uno es el uso de operadores lineales.

Ahora, esto no significa que la ecuación de $(1)$ es una ecuación lineal relativamente a la posición de operador de $\hat X(t)$. Generalmente, esto no es el caso, con la excepción de casos particulares (partícula libre, oscilador armónico)

También podemos utilizar una energía de la ecuación integral que también es una ecuación entre los operadores :

$$ \frac{m}{2} \dot {\hat X(t)}^2 + V(\hat X)(t) = E \tag{3}$$

donde $E$ es una constante de matriz (no dependiendo de la hora). Tenemos entonces :

$$\forall |\psi\rangle, \quad \frac{m}{2} \dot {\hat X(t)}^2|\psi\rangle + V(\hat X)(t)|\psi\rangle = E |\psi\rangle\tag{4}$$

Como antes, esta ecuación es "lineal" en $\psi$, pero no corresponde a una ecuación lineal de movimiento para $\hat X(t)$, excepto si el potencial es cero o en la mayoría de los de segundo grado en $\hat X$