Demostrar que $F(x,y)=f(x-y)$ es medible de Borel

Question

Supongamos que $A$ es un subconjunto de $\Bbb R$, sea $s(A)=\{ (x,y)\in \Bbb R \times \Bbb R :x-y\in A\}$. Ya demostré: Si $A\in \Bbb B$ (conjunto Borel medible), entonces $s(A)\in \Bbb B \times \Bbb B.

Quiero usar esto para demostrar que si $f$ es una función Borel medible de $\Bbb R$ a $\Bbb R$, entonces la función $F$ definida por $F(x,y)=f(x-y)$ es medible respecto a $\Bbb B \times \Bbb B$. ¿Podría alguien ayudar a proporcionar una prueba por favor? Gracias.

Answer 1

Para cualquier conjunto Borel $B$ $$ F^{-1}(B)=\{(x,y):F(x,y)\in B\}=\{(x,y):f(x-y)\in B\}=\{(x,y):x-y\in f^{-1}(B)\}, $$ y $f^{-1}(B)$ es Borel, la afirmación que ya has demostrado implica que el conjunto anterior es Borel (en $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$).

Answer 2

Las composiciones de funciones medibles de Borel son medibles de Borel. En este caso tienes una función medible de Borel compuesta con una función continua, y una función continua es, por supuesto, medible de Borel.