Punto final de una recta conociendo pendiente, inicio y distancia

Question

En un sistema cartesiano, tengo la pendiente, el punto inicial y la distancia de un segmento de recta. ¿Cuál es la fórmula para encontrar el punto final?

Answer 1

Una forma equivalente a la respuesta de Arturo es la siguiente: a partir de la pendiente $m$ , se puede determinar el coseno y el seno del ángulo a partir del eje horizontal de una recta con esa pendiente:

$$c=\frac{1}{\sqrt{1+m^2}} \qquad s=\frac{m}{\sqrt{1+m^2}}$$

(ejercicio: comprobar que son el coseno y el seno de un ángulo determinado)

A partir de esta construcción, se pueden determinar fácilmente los dos puntos situados a una distancia r del punto de partida $(h,k)$ como $(h,k)\pm r(c,s)$ .

Answer 2

Si el punto es $(a,b)$ entonces la distancia desde $(a,b)$ a $(x,y)$ es $$\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2}.$$

Si el punto es $(a,b)$ entonces los puntos que se encuentran en la línea que pasa por $(a,b)$ con pendiente $m$ son los puntos de la forma $$(x,y) = (a,b) + k(1,m)$$ donde $k$ es una constante.

Juntando los dos, si conoces el punto de partida $(a,b)$ y la pendiente $m$ y la distancia $d$ encuentre los (dos) valores de $k$ que le dará una distancia de $d$ introduciendo y resolviendo $k$ .

Esto nos da la siguiente fórmula para $k$ (donde $d$ es la distancia): $$k = \pm \frac{d}{\sqrt{1+m^2}}$$ Al poner esto en la fórmula anterior, encontramos $(x,y)$ .

Answer 3

Y=mx+c es la ecuación de la recta que tienes. (x1,y1) es el punto y D es la distancia. (x,y) es el punto que no conoces.

D= sqrt((x1-x)^2 +(y1-y)^2)

sustituye a y

D= sqrt((x1-x)^2 +(y1-(mx+c))^2)

entonces resuelve para la única incógnita, x. esta es tu coordenada x (2 valores). entonces y=mx+c da la y.