Encontrar restos de la función

Question

Estoy tratando de encontrar el residuo de $$z \cos\left(\frac{1}{z}\right)$$ at $z = 0$.

Esto es como lo hice:

$\cos(z)=\sum{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n}$. $\$ % Entonces $\cos(\frac{1}{z})=\sum{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n-1}$. $\$ % Finalmente, $z\cos(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n}$, que es donde empecé. Pensé que sería el residuo $0$ porque hay no hay energías negativas, pero se supone que para ser $-\frac{1}{2}$. ¿Hice algo mal?

Answer 1

El residuo es el coeficiente del término de $z^{-1}$ en la Serie de Laurent.

Como usted probablemente ya sabe:

$$\cos z \equiv 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} \pm \cdots $$

Se sigue que

$$\cos\left(z^{-1}\right) \equiv 1 - \frac{z^{-2}}{2!} + \frac{z^{-4}}{4!} - \frac{z^{-6}}{6!} \pm \cdots $$

Finalmente, multiplicando por $z$ da:

$$z\cos\left(z^{-1}\right) \equiv z - \frac{z^{-1}}{2!} + \frac{z^{-3}}{4!} - \frac{z^{-5}}{6!} \pm \cdots $$

El coeficiente de $z^{-1}$ es $-\frac{1}{2!} = -\frac{1}{2}$.