Encontrar valores integrales de $3$ diferentes variables.

Question

Estoy atrapado entre una prueba.
Este es donde he llegado

$(a+1)(b+1)(c+1)=4abc$
donde $a,b,c$ son 3 enteros positivos distintos.

Esto completa mi prueba

Si demostrar
$(a+b+c)=abc$ desde arriba

Sé que es verdad y respuesta es $(a,b,c)= (1,2,3)$ pero no puedo encontrar los pasos que faltan en el medio.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

¿Escribir $$ a={bc+b+c+1\over 3bc-b-c-1}$$ Since $a$ and $bc+b+c+1$ are positive so is $3bc-b-c-1$. Since $a\geq 1$ we have $$3bc-b-c-1\leq bc+b+c+1$ $ esto es equivalente a $$(b-1)(c-1)\leq 2$ $ se puede terminar?