Comenzamos con el siguiente valor principal de Cauchy de la integral:
\begin{equation}
\tag{1}
I=
\lim_{\varepsilon\to 0}
\frac{1}{\Gamma(\alpha_{1})}\int_{\varepsilon}^{1/\varepsilon}
e^{-\beta_{1}y}\,y^{-1}\,U(1-\alpha_{1},2-\alpha_{3},\beta_{3}y)
\,\mathrm{d}y\\
-
\frac{1}{\Gamma(\alpha_{2})}\int_{\varepsilon}^{1/\varepsilon}
e^{-\beta_{2}y}\,y^{-1}\,U(1-\alpha_{2},2-\alpha_{3},\beta_{3}y)
\,\mathrm{d}y\,,
\end{equation}
donde $\alpha_{1},\alpha_{2},\beta_{1},\beta_{2}>0$, $\alpha_{3}=\alpha_{1}+\alpha_{2}$, y $\beta_{3}=\beta_{1}+\beta_{2}$.
En la búsqueda de una forma cerrada de expresión para $I$ ataque de estas integrales desde otra dirección, es decir, por el aumento de la potencia de los componentes de la integrands por pequeños constante positiva $\varepsilon$, es decir,$y^{\varepsilon-1}$, lo que posteriormente permite que los límites de integración para extender sobre el intervalo de $y\in[0,\infty)$ sin causar integrales a divergir. Con una sustitución de $t=\beta_{3}y$, la expresión para $I$ se reescribe como
\begin{equation}
\tag{2}
I=
\lim_{\varepsilon\to 0}\,
\frac{\beta_{3}^{-\varepsilon}}{\Gamma(\alpha_{1})}\int_{0}^{\infty}
\exp\left(-\tfrac{\beta_{1}}{\beta_{3}}t\right)\,t^{\varepsilon-1}\,U(1-\alpha_{1},2-\alpha_{3},t)
\,\mathrm{d}t\\
-
\frac{\beta_{3}^{-\varepsilon}}{\Gamma(\alpha_{2})}\int_{0}^{\infty}
\exp\left(-\tfrac{\beta_{2}}{\beta_{3}}t\right)\,t^{\varepsilon-1}\,U(1-\alpha_{2},2-\alpha_{3},t)
\,\mathrm{d}t\,,
\end{equation}
que ahora se pone en la forma de DLMF 13.10.7:
\begin{equation}
\tag{3}
\int_{0}^{\infty}e^{-zt}t^{\varepsilon-1}U(a,b,t)\,\mathrm{d}t=\frac{\Gamma(\varepsilon)\Gamma(\varepsilon-b+1)}{\Gamma(a-b+1+\varepsilon)}z^{-\varepsilon}
{_{2}F_{1}}\left(a,\varepsilon;a-b+1+\varepsilon;1-\tfrac{1}{z}\right),
\end{equation}
para $\Re\varepsilon>\max(\Re b-1,0)$, e $\Re z>0$. Desde $\varepsilon$ va en última instancia, el enfoque de cero, el uso de esta fórmula requiere que $\alpha_{3}>1$. Sin embargo, haciendo uso de la fórmula de $I$ asume la forma de
\begin{equation}
\tag{4}
I=
\lim_{\varepsilon\to 0}
C\Gamma(\varepsilon)
\left(
\frac{{_{2}F_{1}}\left(1-\alpha_{1},\varepsilon;\alpha_{2}+\varepsilon;-\tfrac{\beta_{2}}{\beta_{1}}\right)}{\Gamma(\alpha_{1})\Gamma(\alpha_{2}+\varepsilon)\beta_{1}^{\varepsilon}}
-
\frac{{_{2}F_{1}}\left(1-\alpha_{2},\varepsilon;\alpha_{1}+\varepsilon;-\tfrac{\beta_{1}}{\beta_{2}}\right)}{\Gamma(\alpha_{1}+\varepsilon)\Gamma(\alpha_{2})\beta_{2}^{\varepsilon}}
\right),
\end{equation}
donde $C=\Gamma(\alpha_{3}-1)$. Está claro que el $\Gamma(\varepsilon)$ plazo es el único término que se bifurca como $\varepsilon\to0$. Por lo tanto, para ayudar a simplificar el límite, considere por un momento el de la serie de Laurent de la función gamma sobre el origen
\begin{equation}
\tag{5}
\Gamma(\varepsilon)=\frac{1}{\varepsilon}-\gamma+\mathcal{O}(\varepsilon)\qquad\text{for}\ |\varepsilon|<1\land\varepsilon\neq0\,,
\end{equation}
Desde el límite de la cantidad de $(\cdots-\cdots)$ en Eq. $4$ rendimientos cero, el constante e $\mathcal{O}(\varepsilon)$ términos puede ser eliminado; por lo tanto, $\Gamma(\varepsilon)$ es reemplazado por $1/\varepsilon$, lo que pone todo el límite en un $0/0$ indeterminant forma. Como consecuencia de ello, de L'Hospital de la regla que se aplica resultante en
\begin{equation}
\tag{6}
I=
\lim_{\varepsilon\to 0}
\frac{\partial}{\partial\varepsilon}C
\left(
\frac{{_{2}F_{1}}\left(1-\alpha_{1},\varepsilon;\alpha_{2}+\varepsilon;-\tfrac{\beta_{2}}{\beta_{1}}\right)}{\Gamma(\alpha_{1})\Gamma(\alpha_{2}+\varepsilon)\beta_{1}^{\varepsilon}}
-
\frac{{_{2}F_{1}}\left(1-\alpha_{2},\varepsilon;\alpha_{1}+\varepsilon;-\tfrac{\beta_{1}}{\beta_{2}}\right)}{\Gamma(\alpha_{1}+\varepsilon)\Gamma(\alpha_{2})\beta_{2}^{\varepsilon}}
\right).
\end{equation}
En aras de la brevedad, vamos a definir las siguientes funciones:
\begin{gather}
f_{1}(\varepsilon) = {_{2}F_{1}}\left(1-\alpha_{1},\varepsilon;\alpha_{2}+\varepsilon;-\tfrac{\beta_{2}}{\beta_{1}}\right),\\
f_{2}(\varepsilon) = {_{2}F_{1}}\left(1-\alpha_{2},\varepsilon;\alpha_{1}+\varepsilon;-\tfrac{\beta_{1}}{\beta_{2}}\right),\\
g_{1}(\varepsilon) = \Gamma(\alpha_{1})\Gamma(\alpha_{2}+\varepsilon)\beta_{1}^{\varepsilon},\\
g_{2}(\varepsilon) = \Gamma(\alpha_{1}+\varepsilon)\Gamma(\alpha_{2})\beta_{2}^{\varepsilon},
\end{reunir}
y, a continuación, calcular la derivada en la ecuación. $6$ , para llegar a
\begin{equation}
\tag{7}
I=
\lim_{\varepsilon\to 0}C
\left(
\frac{f_{1}^{\prime}(\varepsilon)}{g_{1}(\varepsilon)}
-
\frac{f_{1}(\varepsilon)\, g_{1}^{\prime}(\varepsilon)}{g_{1}^{2}(\varepsilon)}
-
\frac{f_{2}^{\prime}(\varepsilon)}{g_{2}(\varepsilon)}
+
\frac{f_{2}(\varepsilon)\, g_{2}^{\prime}(\varepsilon)}{g_{2}^{2}(\varepsilon)}
\right).
\end{equation}
En este punto, todo lo que queda por hacer es encontrar los límites de las funciones $f_{1}$, $f_{2}$, $g_{1}$, y $g_{2}$ y sus correspondientes derivados. Comenzando con la función de $g(\varepsilon)=\Gamma(a)\Gamma(b+\varepsilon)c^{\varepsilon}$ que es de la misma forma como $g_{1}$ $g_{2}$ es sencillo mostrar que
\begin{equation}
\tag{8}
\lim_{\varepsilon\to0}g(\varepsilon)=
\Gamma(a)\Gamma(b),
\end{equation}
y
\begin{equation}
\tag{9}
\lim_{\varepsilon\to0}g^{\prime}(\varepsilon)=
\Gamma(a)\Gamma(b)(\psi(b)+\log c),
\end{equation}
donde $\psi(z)$ es la función digamma. A continuación consideramos la función $f(\varepsilon)={_{2}F_{1}}\left(1-a,\varepsilon;b+\varepsilon;-c/d\right)$ que es de la misma forma como $f_{1}$$f_{2}$. Escrito $f$ usando el poder de la serie nos encontramos con la representación
\begin{equation}
\tag{10}
\lim_{\varepsilon\to0}
f(\varepsilon)=
\lim_{\varepsilon\to0}
1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(1-a)_{k}(\varepsilon)_{k}}{(b+\varepsilon)_{k}\,k!}\,\left(-\frac{c}{d}\right)^{k}=1\,.
\end{equation}
Para $\lim_{\varepsilon\to}f^{\prime}(\varepsilon)$, en primer lugar, calcular la derivada de cada término rendimiento
\begin{equation}
\tag{11}
\frac{\partial}{\partial\varepsilon}
\frac{\theta_{k}\,(\varepsilon)_{k}}{(b+\varepsilon)_{k}}=
\frac{\theta_{k}\,(\varepsilon)_{k}}{(b+\varepsilon)_{k}}(\psi(b+\varepsilon)-\psi(\varepsilon)+\psi(k+\varepsilon)-\psi(b+k+\varepsilon))\,.
\end{equation}
donde $\theta_{k}$ es la constante de parte de cada plazo w.r.t. $\varepsilon$. En el límite, todos los de la $\psi(\cdots+\varepsilon)$ términos y condiciones pueden ser retirados ya que $\lim_{\varepsilon\to0}(\varepsilon)_{k}=0$ dejando
\begin{equation}
\tag{12}
\lim_{\varepsilon\to0}
\frac{\partial}{\partial\varepsilon}
\frac{\theta_{k}\,(\varepsilon)_{k}}{(b+\varepsilon)_{k}}=
-\theta_{k}\frac{\Gamma(k)}{(b)_{k}}\lim_{\varepsilon\to0}\frac{\psi(\varepsilon)}{\Gamma(\varepsilon)}\,.
\end{equation}
Ahora considere el siguiente asintóticamente equivalente formas para $\varepsilon\approx0$:
\begin{gather}
\tag{13}
\psi(\varepsilon)=-\frac{1}{\varepsilon}-\gamma+\mathcal{O}(\varepsilon)\,,\\
\tag{14}
\frac{1}{\Gamma(\varepsilon)}=\varepsilon+\mathcal{O}(\varepsilon^{2})\,.
\end{reunir}
A partir de estos limitación de las formas es claro que el resto de límite en la ecuación. $12$ es igual a $-1$ tal que
\begin{equation}
\tag{14}
\lim_{\varepsilon\to 0}
f^{\prime}(\varepsilon) =
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(1-a)_{k}}{k!}\left(-\frac{c}{d}\right)^{k}\frac{\Gamma(k)}{(b)_{k}}\,.
\end{equation}
Cambiando el índice de abajo para comenzar a $k=0$ y, a continuación, la simplificación de los rendimientos
\begin{equation}
\tag{15}
\lim_{\varepsilon\to 0}
f^{\prime}(\varepsilon) =
\frac{(a-1)\,c}{b\,d}
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(2-a)_{k}(1)_{k}(1)_{k}}{(1+b)_{k}(2)_{k}}\,\frac{1}{k!} \left(-\frac{c}{d}\right)^{k},
\end{equation}
que ahora está en la forma de la función hipergeométrica generalizada. Así
\begin{equation}
\tag{16}
\lim_{\varepsilon\to 0}
f^{\prime}(\varepsilon) =
\frac{(a-1)\,c}{b\,d}
{_{3}F_{2}}\left(2-a,1,1;1+b,2;-\tfrac{c}{d}\right),
\end{equation}
donde ${_{p}}F_{q}(a_{1},\dots,a_{p};b_{1},\dots,b_{q};z)$ es la función hipergeométrica generalizada. Es importante tener en cuenta que si $2-a\neq 0,-1,-2,\dots$, la serie en la ecuación. $15$ sólo converge para $|c/d|<1$; por lo tanto, para $|c/d|\geq 1$ el resultado de la Ecualización. $16$ está definido por la continuación analítica de ${_{3}F_{2}}(\cdots;z)$ w.r.t. $z$. Con estos resultados en mano, el límite de cada componente en la ecuación. $7$ se resuelve dando la solución final para $I$ al $\alpha_{3}>1$:
\begin{multline}
\tag{17}
I=
C\biggl(
\log\tfrac{\beta_{2}}{\beta_{1}}+\psi(\alpha_{1})-\psi(\alpha_{2})
+
\tfrac{(\alpha_{1}-1)\,\beta_{2}}{\alpha_{2}\,\beta_{1}}{_{3}F_{2}}\left(2-\alpha_{1},1,1;1+\alpha_{2},2;-\tfrac{\beta_{2}}{\beta_{1}}\right)\\
-
\tfrac{(\alpha_{2}-1)\,\beta_{1}}{\alpha_{1}\,\beta_{2}}{_{3}F_{2}}\left(2-\alpha_{2},1,1;1+\alpha_{1},2;-\tfrac{\beta_{1}}{\beta_{2}}\right)
\biggr),
\end{multline}
donde
\begin{equation}
C =
\frac{\Gamma(\alpha_{3}-1)}
{\Gamma(\alpha_{1})\Gamma(\alpha_{2})}.
\end{equation}
